Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 22614 / 14365
↖ ↑ ↗
← N 21.647217°
E 68.444824°		 ← 1 135.48 m → N 21.647217°
E 68.455811°		 →
↑
1 135.50 m
↓
↑
1 135.50 m
↓
N 21.637005°
E 68.444824°		 ← 1 135.56 m →
1 289 387 m²		 N 21.637005°
E 68.455811°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22614 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14365 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.690139770507812 y=0.438400268554688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.690139770507812 × 215)
    floor (0.690139770507812 × 32768)
    floor (22614.5)     		tx = 22614
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.438400268554688 × 215)
    floor (0.438400268554688 × 32768)
    floor (14365.5)     		ty = 14365
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 22614 / 14365 ti = "15/22614/14365"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/22614/14365.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22614 ÷ 215
    22614 ÷ 32768     		x = 0.69012451171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14365 ÷ 215
    14365 ÷ 32768     		y = 0.438385009765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.69012451171875 × 2 - 1) × π
    0.3802490234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.19458754
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.438385009765625 × 2 - 1) × π
    0.12322998046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.387138401331574
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19458754} λ = 1.19458754}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.387138401331574))-π/2
    2×atan(1.47276030915635)-π/2
    2×0.974305769234767-π/2
    1.94861153846953-1.57079632675     		φ = 0.37781521
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19458754} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.444824°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37781521 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.647217°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22614 KachelY 14365 1.19458754 0.37781521 68.444824 21.647217
    Oben rechts KachelX + 1 22615 KachelY 14365 1.19477929 0.37781521 68.455811 21.647217
    Unten links KachelX 22614 KachelY + 1 14366 1.19458754 0.37763698 68.444824 21.637005
    Unten rechts KachelX + 1 22615 KachelY + 1 14366 1.19477929 0.37763698 68.455811 21.637005
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37781521-0.37763698) × R
    0.000178230000000001 × 6371000     		dl = 1135.50333000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37781521-0.37763698) × R
    0.000178230000000001 × 6371000     		dr = 1135.50333000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19458754-1.19477929) × cos(0.37781521) × R
    0.000191750000000157 × 0.929472801864197 × 6371000     		do = 1135.48045656571m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19458754-1.19477929) × cos(0.37763698) × R
    0.000191750000000157 × 0.929538534481356 × 6371000     		du = 1135.56075811083m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37781521)-sin(0.37763698))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.929472801864197-0.929538534481356)×R²
    abs(1.19477929-1.19458754)×6.57326171593642e-05×R²
    0.000191750000000157×6.57326171593642e-05×6371000²
    0.000191750000000157×6.57326171593642e-05×40589641000000     		ar = 1289387.43432966m²