Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 22608 / 14448
↖ ↑ ↗
← N 20.797201°
E 68.378906°		 ← 1 142.04 m → N 20.797201°
E 68.389893°		 →
↑
1 142.07 m
↓
↑
1 142.07 m
↓
N 20.786931°
E 68.378906°		 ← 1 142.12 m →
1 304 330 m²		 N 20.786931°
E 68.389893°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22608 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14448 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689956665039062 y=0.440933227539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689956665039062 × 215)
    floor (0.689956665039062 × 32768)
    floor (22608.5)     		tx = 22608
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440933227539062 × 215)
    floor (0.440933227539062 × 32768)
    floor (14448.5)     		ty = 14448
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 22608 / 14448 ti = "15/22608/14448"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/22608/14448.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22608 ÷ 215
    22608 ÷ 32768     		x = 0.68994140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14448 ÷ 215
    14448 ÷ 32768     		y = 0.44091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.68994140625 × 2 - 1) × π
    0.3798828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.19343705
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44091796875 × 2 - 1) × π
    0.1181640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.371223350657715
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19343705} λ = 1.19343705}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.371223350657715))-π/2
    2×atan(1.44950678552855)-π/2
    2×0.966887983507061-π/2
    1.93377596701412-1.57079632675     		φ = 0.36297964
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19343705} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.378906°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36297964 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.797201°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22608 KachelY 14448 1.19343705 0.36297964 68.378906 20.797201
    Oben rechts KachelX + 1 22609 KachelY 14448 1.19362880 0.36297964 68.389893 20.797201
    Unten links KachelX 22608 KachelY + 1 14449 1.19343705 0.36280038 68.378906 20.786931
    Unten rechts KachelX + 1 22609 KachelY + 1 14449 1.19362880 0.36280038 68.389893 20.786931
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36297964-0.36280038) × R
    0.000179260000000014 × 6371000     		dl = 1142.06546000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36297964-0.36280038) × R
    0.000179260000000014 × 6371000     		dr = 1142.06546000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19343705-1.19362880) × cos(0.36297964) × R
    0.000191749999999935 × 0.934843020272642 × 6371000     		do = 1142.04092615322m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19343705-1.19362880) × cos(0.36280038) × R
    0.000191749999999935 × 0.934906653540922 × 6371000     		du = 1142.11866305135m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36297964)-sin(0.36280038))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.934843020272642-0.934906653540922)×R²
    abs(1.19362880-1.19343705)×6.36332682795171e-05×R²
    0.000191749999999935×6.36332682795171e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.36332682795171e-05×40589641000000     		ar = 1304329.88947186m²