Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 22606 / 14446
↖ ↑ ↗
← N 20.817741°
E 68.356934°		 ← 1 141.89 m → N 20.817741°
E 68.367920°		 →
↑
1 141.87 m
↓
↑
1 141.87 m
↓
N 20.807472°
E 68.356934°		 ← 1 141.96 m →
1 303 934 m²		 N 20.807472°
E 68.367920°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22606 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14446 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689895629882812 y=0.440872192382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689895629882812 × 215)
    floor (0.689895629882812 × 32768)
    floor (22606.5)     		tx = 22606
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440872192382812 × 215)
    floor (0.440872192382812 × 32768)
    floor (14446.5)     		ty = 14446
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 22606 / 14446 ti = "15/22606/14446"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/22606/14446.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22606 ÷ 215
    22606 ÷ 32768     		x = 0.68988037109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14446 ÷ 215
    14446 ÷ 32768     		y = 0.44085693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.68988037109375 × 2 - 1) × π
    0.3797607421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.19305356
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44085693359375 × 2 - 1) × π
    0.1182861328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.371606845854675
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19305356} λ = 1.19305356}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.371606845854675))-π/2
    2×atan(1.45006277102083)-π/2
    2×0.967067225203862-π/2
    1.93413445040772-1.57079632675     		φ = 0.36333812
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19305356} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.356934°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36333812 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.817741°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22606 KachelY 14446 1.19305356 0.36333812 68.356934 20.817741
    Oben rechts KachelX + 1 22607 KachelY 14446 1.19324531 0.36333812 68.367920 20.817741
    Unten links KachelX 22606 KachelY + 1 14447 1.19305356 0.36315889 68.356934 20.807472
    Unten rechts KachelX + 1 22607 KachelY + 1 14447 1.19324531 0.36315889 68.367920 20.807472
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36333812-0.36315889) × R
    0.000179229999999975 × 6371000     		dl = 1141.87432999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36333812-0.36315889) × R
    0.000179229999999975 × 6371000     		dr = 1141.87432999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19305356-1.19324531) × cos(0.36333812) × R
    0.000191749999999935 × 0.934715677832835 × 6371000     		do = 1141.88535963056m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19305356-1.19324531) × cos(0.36315889) × R
    0.000191749999999935 × 0.934779360516268 × 6371000     		du = 1141.96315689619m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36333812)-sin(0.36315889))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.934715677832835-0.934779360516268)×R²
    abs(1.19324531-1.19305356)×6.36826834327087e-05×R²
    0.000191749999999935×6.36826834327087e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.36826834327087e-05×40589641000000     		ar = 1303934.00080559m²