Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 22602 / 14433
↖ ↑ ↗
← N 20.951180°
E 68.312988°		 ← 1 140.81 m → N 20.951180°
E 68.323974°		 →
↑
1 140.85 m
↓
↑
1 140.85 m
↓
N 20.940920°
E 68.312988°		 ← 1 140.89 m →
1 301 545 m²		 N 20.940920°
E 68.323974°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22602 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14433 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689773559570312 y=0.440475463867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689773559570312 × 215)
    floor (0.689773559570312 × 32768)
    floor (22602.5)     		tx = 22602
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440475463867188 × 215)
    floor (0.440475463867188 × 32768)
    floor (14433.5)     		ty = 14433
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 22602 / 14433 ti = "15/22602/14433"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/22602/14433.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22602 ÷ 215
    22602 ÷ 32768     		x = 0.68975830078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14433 ÷ 215
    14433 ÷ 32768     		y = 0.440460205078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.68975830078125 × 2 - 1) × π
    0.3795166015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.19228657
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.440460205078125 × 2 - 1) × π
    0.11907958984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.374099564634918
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19228657} λ = 1.19228657}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.374099564634918))-π/2
    2×atan(1.45368187855736)-π/2
    2×0.968231699928881-π/2
    1.93646339985776-1.57079632675     		φ = 0.36566707
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19228657} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.312988°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36566707 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.951180°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22602 KachelY 14433 1.19228657 0.36566707 68.312988 20.951180
    Oben rechts KachelX + 1 22603 KachelY 14433 1.19247831 0.36566707 68.323974 20.951180
    Unten links KachelX 22602 KachelY + 1 14434 1.19228657 0.36548800 68.312988 20.940920
    Unten rechts KachelX + 1 22603 KachelY + 1 14434 1.19247831 0.36548800 68.323974 20.940920
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36566707-0.36548800) × R
    0.000179070000000003 × 6371000     		dl = 1140.85497000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36566707-0.36548800) × R
    0.000179070000000003 × 6371000     		dr = 1140.85497000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19228657-1.19247831) × cos(0.36566707) × R
    0.000191739999999996 × 0.933885443182164 × 6371000     		do = 1140.81161455337m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19228657-1.19247831) × cos(0.36548800) × R
    0.000191739999999996 × 0.9339494586879 × 6371000     		du = 1140.88981432935m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36566707)-sin(0.36548800))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.933885443182164-0.9339494586879)×R²
    abs(1.19247831-1.19228657)×6.40155057360925e-05×R²
    0.000191739999999996×6.40155057360925e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.40155057360925e-05×40589641000000     		ar = 1301545.21107627m²