Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 22598 / 14438
↖ ↑ ↗
← N 20.899871°
E 68.269043°		 ← 1 141.20 m → N 20.899871°
E 68.280029°		 →
↑
1 141.30 m
↓
↑
1 141.30 m
↓
N 20.889607°
E 68.269043°		 ← 1 141.28 m →
1 302 500 m²		 N 20.889607°
E 68.280029°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22598 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14438 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689651489257812 y=0.440628051757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689651489257812 × 215)
    floor (0.689651489257812 × 32768)
    floor (22598.5)     		tx = 22598
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440628051757812 × 215)
    floor (0.440628051757812 × 32768)
    floor (14438.5)     		ty = 14438
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 22598 / 14438 ti = "15/22598/14438"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/22598/14438.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22598 ÷ 215
    22598 ÷ 32768     		x = 0.68963623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14438 ÷ 215
    14438 ÷ 32768     		y = 0.44061279296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.68963623046875 × 2 - 1) × π
    0.3792724609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.19151958
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44061279296875 × 2 - 1) × π
    0.1187744140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.373140826642517
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19151958} λ = 1.19151958}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.373140826642517))-π/2
    2×atan(1.45228884639465)-π/2
    2×0.96778394751732-π/2
    1.93556789503464-1.57079632675     		φ = 0.36477157
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19151958} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.269043°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36477157 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.899871°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22598 KachelY 14438 1.19151958 0.36477157 68.269043 20.899871
    Oben rechts KachelX + 1 22599 KachelY 14438 1.19171132 0.36477157 68.280029 20.899871
    Unten links KachelX 22598 KachelY + 1 14439 1.19151958 0.36459243 68.269043 20.889607
    Unten rechts KachelX + 1 22599 KachelY + 1 14439 1.19171132 0.36459243 68.280029 20.889607
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36477157-0.36459243) × R
    0.000179139999999967 × 6371000     		dl = 1141.30093999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36477157-0.36459243) × R
    0.000179139999999967 × 6371000     		dr = 1141.30093999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19151958-1.19171132) × cos(0.36477157) × R
    0.000191739999999996 × 0.934205274719889 × 6371000     		do = 1141.20231293677m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19151958-1.19171132) × cos(0.36459243) × R
    0.000191739999999996 × 0.934269165399404 × 6371000     		du = 1141.2803602281m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36477157)-sin(0.36459243))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.934205274719889-0.934269165399404)×R²
    abs(1.19171132-1.19151958)×6.38906795149552e-05×R²
    0.000191739999999996×6.38906795149552e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.38906795149552e-05×40589641000000     		ar = 1302499.8136912m²