Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 22598 / 14431
↖ ↑ ↗
← N 20.971699°
E 68.269043°		 ← 1 140.66 m → N 20.971699°
E 68.280029°		 →
↑
1 140.73 m
↓
↑
1 140.73 m
↓
N 20.961440°
E 68.269043°		 ← 1 140.73 m →
1 301 221 m²		 N 20.961440°
E 68.280029°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22598 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14431 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689651489257812 y=0.440414428710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689651489257812 × 215)
    floor (0.689651489257812 × 32768)
    floor (22598.5)     		tx = 22598
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440414428710938 × 215)
    floor (0.440414428710938 × 32768)
    floor (14431.5)     		ty = 14431
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 22598 / 14431 ti = "15/22598/14431"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/22598/14431.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22598 ÷ 215
    22598 ÷ 32768     		x = 0.68963623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14431 ÷ 215
    14431 ÷ 32768     		y = 0.440399169921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.68963623046875 × 2 - 1) × π
    0.3792724609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.19151958
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.440399169921875 × 2 - 1) × π
    0.11920166015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.374483059831879
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19151958} λ = 1.19151958}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.374483059831879))-π/2
    2×atan(1.45423946548481)-π/2
    2×0.96841075793868-π/2
    1.93682151587736-1.57079632675     		φ = 0.36602519
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19151958} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.269043°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36602519 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.971699°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22598 KachelY 14431 1.19151958 0.36602519 68.269043 20.971699
    Oben rechts KachelX + 1 22599 KachelY 14431 1.19171132 0.36602519 68.280029 20.971699
    Unten links KachelX 22598 KachelY + 1 14432 1.19151958 0.36584614 68.269043 20.961440
    Unten rechts KachelX + 1 22599 KachelY + 1 14432 1.19171132 0.36584614 68.280029 20.961440
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36602519-0.36584614) × R
    0.000179050000000014 × 6371000     		dl = 1140.72755000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36602519-0.36584614) × R
    0.000179050000000014 × 6371000     		dr = 1140.72755000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19151958-1.19171132) × cos(0.36602519) × R
    0.000191739999999996 × 0.933757329492787 × 6371000     		do = 1140.65511400408m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19151958-1.19171132) × cos(0.36584614) × R
    0.000191739999999996 × 0.933821397730396 × 6371000     		du = 1140.73337819604m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36602519)-sin(0.36584614))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.933757329492787-0.933821397730396)×R²
    abs(1.19171132-1.19151958)×6.40682376092938e-05×R²
    0.000191739999999996×6.40682376092938e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.40682376092938e-05×40589641000000     		ar = 1301221.35612904m²