Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 22597 / 14423
↖ ↑ ↗
← N 21.053744°
E 68.258057°		 ← 1 140.09 m → N 21.053744°
E 68.269043°		 →
↑
1 140.09 m
↓
↑
1 140.09 m
↓
N 21.043491°
E 68.258057°		 ← 1 140.17 m →
1 299 847 m²		 N 21.043491°
E 68.269043°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22597 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14423 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689620971679688 y=0.440170288085938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689620971679688 × 215)
    floor (0.689620971679688 × 32768)
    floor (22597.5)     		tx = 22597
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440170288085938 × 215)
    floor (0.440170288085938 × 32768)
    floor (14423.5)     		ty = 14423
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 22597 / 14423 ti = "15/22597/14423"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/22597/14423.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22597 ÷ 215
    22597 ÷ 32768     		x = 0.689605712890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14423 ÷ 215
    14423 ÷ 32768     		y = 0.440155029296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.689605712890625 × 2 - 1) × π
    0.37921142578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.19132783
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.440155029296875 × 2 - 1) × π
    0.11968994140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.37601704061972
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19132783} λ = 1.19132783}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.37601704061972))-π/2
    2×atan(1.4564719527443)-π/2
    2×0.969126744032035-π/2
    1.93825348806407-1.57079632675     		φ = 0.36745716
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19132783} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.258057°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36745716 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.053744°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22597 KachelY 14423 1.19132783 0.36745716 68.258057 21.053744
    Oben rechts KachelX + 1 22598 KachelY 14423 1.19151958 0.36745716 68.269043 21.053744
    Unten links KachelX 22597 KachelY + 1 14424 1.19132783 0.36727821 68.258057 21.043491
    Unten rechts KachelX + 1 22598 KachelY + 1 14424 1.19151958 0.36727821 68.269043 21.043491
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36745716-0.36727821) × R
    0.000178950000000011 × 6371000     		dl = 1140.09045000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36745716-0.36727821) × R
    0.000178950000000011 × 6371000     		dr = 1140.09045000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19132783-1.19151958) × cos(0.36745716) × R
    0.000191749999999935 × 0.933243860570976 × 6371000     		do = 1140.08732989465m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19132783-1.19151958) × cos(0.36727821) × R
    0.000191749999999935 × 0.933308132253376 × 6371000     		du = 1140.16584670453m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36745716)-sin(0.36727821))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.933243860570976-0.933308132253376)×R²
    abs(1.19151958-1.19132783)×6.42716823994194e-05×R²
    0.000191749999999935×6.42716823994194e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.42716823994194e-05×40589641000000     		ar = 1299847.43857997m²