Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 22594 / 14434
↖ ↑ ↗
← N 20.940920°
E 68.225098°		 ← 1 140.89 m → N 20.940920°
E 68.236084°		 →
↑
1 140.98 m
↓
↑
1 140.98 m
↓
N 20.930659°
E 68.225098°		 ← 1 140.97 m →
1 301 780 m²		 N 20.930659°
E 68.236084°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22594 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14434 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689529418945312 y=0.440505981445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689529418945312 × 215)
    floor (0.689529418945312 × 32768)
    floor (22594.5)     		tx = 22594
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440505981445312 × 215)
    floor (0.440505981445312 × 32768)
    floor (14434.5)     		ty = 14434
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 22594 / 14434 ti = "15/22594/14434"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/22594/14434.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22594 ÷ 215
    22594 ÷ 32768     		x = 0.68951416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14434 ÷ 215
    14434 ÷ 32768     		y = 0.44049072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.68951416015625 × 2 - 1) × π
    0.3790283203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.19075259
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44049072265625 × 2 - 1) × π
    0.1190185546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.373907817036438
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19075259} λ = 1.19075259}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.373907817036438))-π/2
    2×atan(1.45340316527035)-π/2
    2×0.968142161714474-π/2
    1.93628432342895-1.57079632675     		φ = 0.36548800
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19075259} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.225098°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36548800 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.940920°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22594 KachelY 14434 1.19075259 0.36548800 68.225098 20.940920
    Oben rechts KachelX + 1 22595 KachelY 14434 1.19094433 0.36548800 68.236084 20.940920
    Unten links KachelX 22594 KachelY + 1 14435 1.19075259 0.36530891 68.225098 20.930659
    Unten rechts KachelX + 1 22595 KachelY + 1 14435 1.19094433 0.36530891 68.236084 20.930659
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36548800-0.36530891) × R
    0.000179089999999993 × 6371000     		dl = 1140.98238999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36548800-0.36530891) × R
    0.000179089999999993 × 6371000     		dr = 1140.98238999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19075259-1.19094433) × cos(0.36548800) × R
    0.000191739999999996 × 0.9339494586879 × 6371000     		do = 1140.88981432935m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19075259-1.19094433) × cos(0.36530891) × R
    0.000191739999999996 × 0.934013451390309 × 6371000     		du = 1140.96798624936m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36548800)-sin(0.36530891))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.9339494586879-0.934013451390309)×R²
    abs(1.19094433-1.19075259)×6.39927024091991e-05×R²
    0.000191739999999996×6.39927024091991e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.39927024091991e-05×40589641000000     		ar = 1301779.78695151m²