Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 22594 / 14426
↖ ↑ ↗
← N 21.022982°
E 68.225098°		 ← 1 140.26 m → N 21.022982°
E 68.236084°		 →
↑
1 140.35 m
↓
↑
1 140.35 m
↓
N 21.012727°
E 68.225098°		 ← 1 140.34 m →
1 300 339 m²		 N 21.012727°
E 68.236084°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22594 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14426 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689529418945312 y=0.440261840820312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689529418945312 × 215)
    floor (0.689529418945312 × 32768)
    floor (22594.5)     		tx = 22594
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440261840820312 × 215)
    floor (0.440261840820312 × 32768)
    floor (14426.5)     		ty = 14426
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 22594 / 14426 ti = "15/22594/14426"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/22594/14426.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22594 ÷ 215
    22594 ÷ 32768     		x = 0.68951416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14426 ÷ 215
    14426 ÷ 32768     		y = 0.44024658203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.68951416015625 × 2 - 1) × π
    0.3790283203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.19075259
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44024658203125 × 2 - 1) × π
    0.1195068359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.37544179782428
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19075259} λ = 1.19075259}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.37544179782428))-π/2
    2×atan(1.45563436867692)-π/2
    2×0.96885829540467-π/2
    1.93771659080934-1.57079632675     		φ = 0.36692026
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19075259} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.225098°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36692026 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.022982°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22594 KachelY 14426 1.19075259 0.36692026 68.225098 21.022982
    Oben rechts KachelX + 1 22595 KachelY 14426 1.19094433 0.36692026 68.236084 21.022982
    Unten links KachelX 22594 KachelY + 1 14427 1.19075259 0.36674127 68.225098 21.012727
    Unten rechts KachelX + 1 22595 KachelY + 1 14427 1.19094433 0.36674127 68.236084 21.012727
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36692026-0.36674127) × R
    0.00017898999999999 × 6371000     		dl = 1140.34528999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36692026-0.36674127) × R
    0.00017898999999999 × 6371000     		dr = 1140.34528999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19075259-1.19094433) × cos(0.36692026) × R
    0.000191739999999996 × 0.933436603890973 × 6371000     		do = 1140.26332345386m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19075259-1.19094433) × cos(0.36674127) × R
    0.000191739999999996 × 0.933500800239597 × 6371000     		du = 1140.34174414309m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36692026)-sin(0.36674127))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.933436603890973-0.933500800239597)×R²
    abs(1.19094433-1.19075259)×6.41963486242014e-05×R²
    0.000191739999999996×6.41963486242014e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.41963486242014e-05×40589641000000     		ar = 1300338.62706354m²