Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 22588 / 14436
↖ ↑ ↗
← N 20.920397°
E 68.159180°		 ← 1 141.11 m → N 20.920397°
E 68.170166°		 →
↑
1 141.17 m
↓
↑
1 141.17 m
↓
N 20.910134°
E 68.159180°		 ← 1 141.18 m →
1 302 244 m²		 N 20.910134°
E 68.170166°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22588 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14436 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689346313476562 y=0.440567016601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689346313476562 × 215)
    floor (0.689346313476562 × 32768)
    floor (22588.5)     		tx = 22588
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440567016601562 × 215)
    floor (0.440567016601562 × 32768)
    floor (14436.5)     		ty = 14436
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 22588 / 14436 ti = "15/22588/14436"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/22588/14436.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22588 ÷ 215
    22588 ÷ 32768     		x = 0.6893310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14436 ÷ 215
    14436 ÷ 32768     		y = 0.4405517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6893310546875 × 2 - 1) × π
    0.378662109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.18960210
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4405517578125 × 2 - 1) × π
    0.118896484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.373524321839478
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18960210} λ = 1.18960210}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.373524321839478))-π/2
    2×atan(1.45284589899852)-π/2
    2×0.967963066878897-π/2
    1.93592613375779-1.57079632675     		φ = 0.36512981
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18960210} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.159180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36512981 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.920397°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22588 KachelY 14436 1.18960210 0.36512981 68.159180 20.920397
    Oben rechts KachelX + 1 22589 KachelY 14436 1.18979385 0.36512981 68.170166 20.920397
    Unten links KachelX 22588 KachelY + 1 14437 1.18960210 0.36495069 68.159180 20.910134
    Unten rechts KachelX + 1 22589 KachelY + 1 14437 1.18979385 0.36495069 68.170166 20.910134
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36512981-0.36495069) × R
    0.000179119999999977 × 6371000     		dl = 1141.17351999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36512981-0.36495069) × R
    0.000179119999999977 × 6371000     		dr = 1141.17351999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18960210-1.18979385) × cos(0.36512981) × R
    0.000191749999999935 × 0.934077417706597 × 6371000     		do = 1141.10563600864m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18960210-1.18979385) × cos(0.36495069) × R
    0.000191749999999935 × 0.934141361198727 × 6371000     		du = 1141.18375188841m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36512981)-sin(0.36495069))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.934077417706597-0.934141361198727)×R²
    abs(1.18979385-1.18960210)×6.3943492129459e-05×R²
    0.000191749999999935×6.3943492129459e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.3943492129459e-05×40589641000000     		ar = 1302244.11070444m²