Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 22587 / 14439
↖ ↑ ↗
← N 20.889607°
E 68.148193°		 ← 1 141.34 m → N 20.889607°
E 68.159180°		 →
↑
1 141.36 m
↓
↑
1 141.36 m
↓
N 20.879343°
E 68.148193°		 ← 1 141.42 m →
1 302 730 m²		 N 20.879343°
E 68.159180°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22587 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14439 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689315795898438 y=0.440658569335938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689315795898438 × 215)
    floor (0.689315795898438 × 32768)
    floor (22587.5)     		tx = 22587
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440658569335938 × 215)
    floor (0.440658569335938 × 32768)
    floor (14439.5)     		ty = 14439
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 22587 / 14439 ti = "15/22587/14439"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/22587/14439.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22587 ÷ 215
    22587 ÷ 32768     		x = 0.689300537109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14439 ÷ 215
    14439 ÷ 32768     		y = 0.440643310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.689300537109375 × 2 - 1) × π
    0.37860107421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.18941035
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.440643310546875 × 2 - 1) × π
    0.11871337890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.372949079044037
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18941035} λ = 1.18941035}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.372949079044037))-π/2
    2×atan(1.45201040019261)-π/2
    2×0.967694378645415-π/2
    1.93538875729083-1.57079632675     		φ = 0.36459243
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18941035} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.148193°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36459243 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.889607°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22587 KachelY 14439 1.18941035 0.36459243 68.148193 20.889607
    Oben rechts KachelX + 1 22588 KachelY 14439 1.18960210 0.36459243 68.159180 20.889607
    Unten links KachelX 22587 KachelY + 1 14440 1.18941035 0.36441328 68.148193 20.879343
    Unten rechts KachelX + 1 22588 KachelY + 1 14440 1.18960210 0.36441328 68.159180 20.879343
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36459243-0.36441328) × R
    0.000179150000000017 × 6371000     		dl = 1141.36465000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36459243-0.36441328) × R
    0.000179150000000017 × 6371000     		dr = 1141.36465000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18941035-1.18960210) × cos(0.36459243) × R
    0.000191750000000157 × 0.934269165399404 × 6371000     		do = 1141.33988251759m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18941035-1.18960210) × cos(0.36441328) × R
    0.000191750000000157 × 0.934333029661168 × 6371000     		du = 1141.41790160643m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36459243)-sin(0.36441328))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.934269165399404-0.934333029661168)×R²
    abs(1.18960210-1.18941035)×6.38642617646346e-05×R²
    0.000191750000000157×6.38642617646346e-05×6371000²
    0.000191750000000157×6.38642617646346e-05×40589641000000     		ar = 1302729.52314007m²