Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 22586 / 14422
↖ ↑ ↗
← N 21.063997°
E 68.137207°		 ← 1 139.95 m → N 21.063997°
E 68.148193°		 →
↑
1 140.03 m
↓
↑
1 140.03 m
↓
N 21.053744°
E 68.137207°		 ← 1 140.03 m →
1 299 617 m²		 N 21.053744°
E 68.148193°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22586 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14422 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689285278320312 y=0.440139770507812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689285278320312 × 215)
    floor (0.689285278320312 × 32768)
    floor (22586.5)     		tx = 22586
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440139770507812 × 215)
    floor (0.440139770507812 × 32768)
    floor (14422.5)     		ty = 14422
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 22586 / 14422 ti = "15/22586/14422"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/22586/14422.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22586 ÷ 215
    22586 ÷ 32768     		x = 0.68927001953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14422 ÷ 215
    14422 ÷ 32768     		y = 0.44012451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.68927001953125 × 2 - 1) × π
    0.3785400390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.18921861
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44012451171875 × 2 - 1) × π
    0.1197509765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.376208788218201
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18921861} λ = 1.18921861}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.376208788218201))-π/2
    2×atan(1.45675125452036)-π/2
    2×0.96921621458446-π/2
    1.93843242916892-1.57079632675     		φ = 0.36763610
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18921861} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.137207°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36763610 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.063997°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22586 KachelY 14422 1.18921861 0.36763610 68.137207 21.063997
    Oben rechts KachelX + 1 22587 KachelY 14422 1.18941035 0.36763610 68.148193 21.063997
    Unten links KachelX 22586 KachelY + 1 14423 1.18921861 0.36745716 68.137207 21.053744
    Unten rechts KachelX + 1 22587 KachelY + 1 14423 1.18941035 0.36745716 68.148193 21.053744
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36763610-0.36745716) × R
    0.000178940000000016 × 6371000     		dl = 1140.0267400001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36763610-0.36745716) × R
    0.000178940000000016 × 6371000     		dr = 1140.0267400001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18921861-1.18941035) × cos(0.36763610) × R
    0.000191739999999996 × 0.933179562597318 × 6371000     		do = 1139.94932809676m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18921861-1.18941035) × cos(0.36745716) × R
    0.000191739999999996 × 0.933243860570976 × 6371000     		du = 1140.02787292865m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36763610)-sin(0.36745716))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.933179562597318-0.933243860570976)×R²
    abs(1.18941035-1.18921861)×6.42979736582561e-05×R²
    0.000191739999999996×6.42979736582561e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.42979736582561e-05×40589641000000     		ar = 1299617.49134773m²