Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 22585 / 14421
↖ ↑ ↗
← N 21.074249°
E 68.126221°		 ← 1 139.93 m → N 21.074249°
E 68.137207°		 →
↑
1 139.96 m
↓
↑
1 139.96 m
↓
N 21.063997°
E 68.126221°		 ← 1 140.01 m →
1 299 523 m²		 N 21.063997°
E 68.137207°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22585 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14421 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689254760742188 y=0.440109252929688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689254760742188 × 215)
    floor (0.689254760742188 × 32768)
    floor (22585.5)     		tx = 22585
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440109252929688 × 215)
    floor (0.440109252929688 × 32768)
    floor (14421.5)     		ty = 14421
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 22585 / 14421 ti = "15/22585/14421"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/22585/14421.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22585 ÷ 215
    22585 ÷ 32768     		x = 0.689239501953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14421 ÷ 215
    14421 ÷ 32768     		y = 0.440093994140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.689239501953125 × 2 - 1) × π
    0.37847900390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.18902686
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.440093994140625 × 2 - 1) × π
    0.11981201171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.376400535816681
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18902686} λ = 1.18902686}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.376400535816681))-π/2
    2×atan(1.457030609857)-π/2
    2×0.969305678971137-π/2
    1.93861135794227-1.57079632675     		φ = 0.36781503
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18902686} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.126221°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36781503 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.074249°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22585 KachelY 14421 1.18902686 0.36781503 68.126221 21.074249
    Oben rechts KachelX + 1 22586 KachelY 14421 1.18921861 0.36781503 68.137207 21.074249
    Unten links KachelX 22585 KachelY + 1 14422 1.18902686 0.36763610 68.126221 21.063997
    Unten rechts KachelX + 1 22586 KachelY + 1 14422 1.18921861 0.36763610 68.137207 21.063997
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36781503-0.36763610) × R
    0.000178929999999966 × 6371000     		dl = 1139.96302999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36781503-0.36763610) × R
    0.000178929999999966 × 6371000     		dr = 1139.96302999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18902686-1.18921861) × cos(0.36781503) × R
    0.000191749999999935 × 0.93311523833947 × 6371000     		do = 1139.93019992821m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18902686-1.18921861) × cos(0.36763610) × R
    0.000191749999999935 × 0.933179562597318 × 6371000     		du = 1140.00878096633m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36781503)-sin(0.36763610))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.93311523833947-0.933179562597318)×R²
    abs(1.18921861-1.18902686)×6.43242578484138e-05×R²
    0.000191749999999935×6.43242578484138e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.43242578484138e-05×40589641000000     		ar = 1299523.07790477m²