Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 22583 / 14343
↖ ↑ ↗
← N 21.871694°
E 68.104248°		 ← 1 133.71 m → N 21.871694°
E 68.115234°		 →
↑
1 133.72 m
↓
↑
1 133.72 m
↓
N 21.861499°
E 68.104248°		 ← 1 133.79 m →
1 285 351 m²		 N 21.861499°
E 68.115234°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22583 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14343 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689193725585938 y=0.437728881835938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689193725585938 × 215)
    floor (0.689193725585938 × 32768)
    floor (22583.5)     		tx = 22583
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.437728881835938 × 215)
    floor (0.437728881835938 × 32768)
    floor (14343.5)     		ty = 14343
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 22583 / 14343 ti = "15/22583/14343"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/22583/14343.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22583 ÷ 215
    22583 ÷ 32768     		x = 0.689178466796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14343 ÷ 215
    14343 ÷ 32768     		y = 0.437713623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.689178466796875 × 2 - 1) × π
    0.37835693359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.18864336
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.437713623046875 × 2 - 1) × π
    0.12457275390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.391356848498138
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18864336} λ = 1.18864336}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.391356848498138))-π/2
    2×atan(1.4789861932585)-π/2
    2×0.976264705579268-π/2
    1.95252941115854-1.57079632675     		φ = 0.38173308
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18864336} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.104248°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38173308 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.871694°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22583 KachelY 14343 1.18864336 0.38173308 68.104248 21.871694
    Oben rechts KachelX + 1 22584 KachelY 14343 1.18883511 0.38173308 68.115234 21.871694
    Unten links KachelX 22583 KachelY + 1 14344 1.18864336 0.38155513 68.104248 21.861499
    Unten rechts KachelX + 1 22584 KachelY + 1 14344 1.18883511 0.38155513 68.115234 21.861499
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38173308-0.38155513) × R
    0.000177949999999982 × 6371000     		dl = 1133.71944999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38173308-0.38155513) × R
    0.000177949999999982 × 6371000     		dr = 1133.71944999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18864336-1.18883511) × cos(0.38173308) × R
    0.000191750000000157 × 0.928020406398633 × 6371000     		do = 1133.70615325845m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18864336-1.18883511) × cos(0.38155513) × R
    0.000191750000000157 × 0.928086683304752 × 6371000     		du = 1133.78711972833m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38173308)-sin(0.38155513))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.928020406398633-0.928086683304752)×R²
    abs(1.18883511-1.18864336)×6.62769061186008e-05×R²
    0.000191750000000157×6.62769061186008e-05×6371000²
    0.000191750000000157×6.62769061186008e-05×40589641000000     		ar = 1285350.61655651m²