Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 22581 / 14399
↖ ↑ ↗
← N 21.299610°
E 68.082276°		 ← 1 138.19 m → N 21.299610°
E 68.093262°		 →
↑
1 138.18 m
↓
↑
1 138.18 m
↓
N 21.289374°
E 68.082276°		 ← 1 138.27 m →
1 295 513 m²		 N 21.289374°
E 68.093262°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22581 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14399 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689132690429688 y=0.439437866210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689132690429688 × 215)
    floor (0.689132690429688 × 32768)
    floor (22581.5)     		tx = 22581
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439437866210938 × 215)
    floor (0.439437866210938 × 32768)
    floor (14399.5)     		ty = 14399
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 22581 / 14399 ti = "15/22581/14399"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/22581/14399.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22581 ÷ 215
    22581 ÷ 32768     		x = 0.689117431640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14399 ÷ 215
    14399 ÷ 32768     		y = 0.439422607421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.689117431640625 × 2 - 1) × π
    0.37823486328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.18825987
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.439422607421875 × 2 - 1) × π
    0.12115478515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.380618982983246
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18825987} λ = 1.18825987}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.380618982983246))-π/2
    2×atan(1.46318999889936)-π/2
    2×0.971272330616881-π/2
    1.94254466123376-1.57079632675     		φ = 0.37174833
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18825987} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.082276°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37174833 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.299610°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22581 KachelY 14399 1.18825987 0.37174833 68.082276 21.299610
    Oben rechts KachelX + 1 22582 KachelY 14399 1.18845162 0.37174833 68.093262 21.299610
    Unten links KachelX 22581 KachelY + 1 14400 1.18825987 0.37156968 68.082276 21.289374
    Unten rechts KachelX + 1 22582 KachelY + 1 14400 1.18845162 0.37156968 68.093262 21.289374
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37174833-0.37156968) × R
    0.000178650000000002 × 6371000     		dl = 1138.17915000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37174833-0.37156968) × R
    0.000178650000000002 × 6371000     		dr = 1138.17915000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18825987-1.18845162) × cos(0.37174833) × R
    0.000191749999999935 × 0.93169369791749 × 6371000     		do = 1138.19359035326m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18825987-1.18845162) × cos(0.37156968) × R
    0.000191749999999935 × 0.931758576749633 × 6371000     		du = 1138.2728488811m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37174833)-sin(0.37156968))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.93169369791749-0.931758576749633)×R²
    abs(1.18845162-1.18825987)×6.48788321425675e-05×R²
    0.000191749999999935×6.48788321425675e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.48788321425675e-05×40589641000000     		ar = 1295513.32185106m²