Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 22580 / 14404
↖ ↑ ↗
← N 21.248422°
E 68.071289°		 ← 1 138.59 m → N 21.248422°
E 68.082276°		 →
↑
1 138.63 m
↓
↑
1 138.63 m
↓
N 21.238182°
E 68.071289°		 ← 1 138.67 m →
1 296 472 m²		 N 21.238182°
E 68.082276°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22580 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14404 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689102172851562 y=0.439590454101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689102172851562 × 215)
    floor (0.689102172851562 × 32768)
    floor (22580.5)     		tx = 22580
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439590454101562 × 215)
    floor (0.439590454101562 × 32768)
    floor (14404.5)     		ty = 14404
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 22580 / 14404 ti = "15/22580/14404"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/22580/14404.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22580 ÷ 215
    22580 ÷ 32768     		x = 0.6890869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14404 ÷ 215
    14404 ÷ 32768     		y = 0.4395751953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6890869140625 × 2 - 1) × π
    0.378173828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.18806812
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4395751953125 × 2 - 1) × π
    0.120849609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.379660244990845
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18806812} λ = 1.18806812}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.379660244990845))-π/2
    2×atan(1.46178785530889)-π/2
    2×0.970825627825224-π/2
    1.94165125565045-1.57079632675     		φ = 0.37085493
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18806812} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.071289°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37085493 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.248422°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22580 KachelY 14404 1.18806812 0.37085493 68.071289 21.248422
    Oben rechts KachelX + 1 22581 KachelY 14404 1.18825987 0.37085493 68.082276 21.248422
    Unten links KachelX 22580 KachelY + 1 14405 1.18806812 0.37067621 68.071289 21.238182
    Unten rechts KachelX + 1 22581 KachelY + 1 14405 1.18825987 0.37067621 68.082276 21.238182
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37085493-0.37067621) × R
    0.000178720000000021 × 6371000     		dl = 1138.62512000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37085493-0.37067621) × R
    0.000178720000000021 × 6371000     		dr = 1138.62512000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18806812-1.18825987) × cos(0.37085493) × R
    0.000191749999999935 × 0.932017849040965 × 6371000     		do = 1138.58958608863m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18806812-1.18825987) × cos(0.37067621) × R
    0.000191749999999935 × 0.932082604495445 × 6371000     		du = 1138.66869389348m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37085493)-sin(0.37067621))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.932017849040965-0.932082604495445)×R²
    abs(1.18825987-1.18806812)×6.47554544801476e-05×R²
    0.000191749999999935×6.47554544801476e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.47554544801476e-05×40589641000000     		ar = 1296471.74460913m²