Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 22579 / 14394
↖ ↑ ↗
← N 21.350781°
E 68.060303°		 ← 1 137.80 m → N 21.350781°
E 68.071289°		 →
↑
1 137.80 m
↓
↑
1 137.80 m
↓
N 21.340549°
E 68.060303°		 ← 1 137.88 m →
1 294 627 m²		 N 21.340549°
E 68.071289°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22579 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14394 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689071655273438 y=0.439285278320312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689071655273438 × 215)
    floor (0.689071655273438 × 32768)
    floor (22579.5)     		tx = 22579
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439285278320312 × 215)
    floor (0.439285278320312 × 32768)
    floor (14394.5)     		ty = 14394
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 22579 / 14394 ti = "15/22579/14394"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/22579/14394.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22579 ÷ 215
    22579 ÷ 32768     		x = 0.689056396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14394 ÷ 215
    14394 ÷ 32768     		y = 0.43927001953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.689056396484375 × 2 - 1) × π
    0.37811279296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.18787637
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43927001953125 × 2 - 1) × π
    0.1214599609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.381577720975647
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18787637} λ = 1.18787637}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.381577720975647))-π/2
    2×atan(1.46459348742279)-π/2
    2×0.971718877868422-π/2
    1.94343775573684-1.57079632675     		φ = 0.37264143
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18787637} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.060303°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37264143 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.350781°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22579 KachelY 14394 1.18787637 0.37264143 68.060303 21.350781
    Oben rechts KachelX + 1 22580 KachelY 14394 1.18806812 0.37264143 68.071289 21.350781
    Unten links KachelX 22579 KachelY + 1 14395 1.18787637 0.37246284 68.060303 21.340549
    Unten rechts KachelX + 1 22580 KachelY + 1 14395 1.18806812 0.37246284 68.071289 21.340549
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37264143-0.37246284) × R
    0.000178589999999978 × 6371000     		dl = 1137.79688999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37264143-0.37246284) × R
    0.000178589999999978 × 6371000     		dr = 1137.79688999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18787637-1.18806812) × cos(0.37264143) × R
    0.000191750000000157 × 0.931368912373202 × 6371000     		do = 1137.79681958585m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18787637-1.18806812) × cos(0.37246284) × R
    0.000191750000000157 × 0.931433918003884 × 6371000     		du = 1137.87623301576m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37264143)-sin(0.37246284))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.931368912373202-0.931433918003884)×R²
    abs(1.18806812-1.18787637)×6.50056306820135e-05×R²
    0.000191750000000157×6.50056306820135e-05×6371000²
    0.000191750000000157×6.50056306820135e-05×40589641000000     		ar = 1294626.86439428m²