Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 22579 / 14393
↖ ↑ ↗
← N 21.361013°
E 68.060303°		 ← 1 137.72 m → N 21.361013°
E 68.071289°		 →
↑
1 137.73 m
↓
↑
1 137.73 m
↓
N 21.350781°
E 68.060303°		 ← 1 137.80 m →
1 294 464 m²		 N 21.350781°
E 68.071289°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22579 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14393 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689071655273438 y=0.439254760742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689071655273438 × 215)
    floor (0.689071655273438 × 32768)
    floor (22579.5)     		tx = 22579
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439254760742188 × 215)
    floor (0.439254760742188 × 32768)
    floor (14393.5)     		ty = 14393
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 22579 / 14393 ti = "15/22579/14393"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/22579/14393.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22579 ÷ 215
    22579 ÷ 32768     		x = 0.689056396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14393 ÷ 215
    14393 ÷ 32768     		y = 0.439239501953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.689056396484375 × 2 - 1) × π
    0.37811279296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.18787637
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.439239501953125 × 2 - 1) × π
    0.12152099609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.381769468574127
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18787637} λ = 1.18787637}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.381769468574127))-π/2
    2×atan(1.46487434663293)-π/2
    2×0.971808168627339-π/2
    1.94361633725468-1.57079632675     		φ = 0.37282001
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18787637} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.060303°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37282001 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.361013°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22579 KachelY 14393 1.18787637 0.37282001 68.060303 21.361013
    Oben rechts KachelX + 1 22580 KachelY 14393 1.18806812 0.37282001 68.071289 21.361013
    Unten links KachelX 22579 KachelY + 1 14394 1.18787637 0.37264143 68.060303 21.350781
    Unten rechts KachelX + 1 22580 KachelY + 1 14394 1.18806812 0.37264143 68.071289 21.350781
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37282001-0.37264143) × R
    0.000178579999999984 × 6371000     		dl = 1137.7331799999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37282001-0.37264143) × R
    0.000178579999999984 × 6371000     		dr = 1137.7331799999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18787637-1.18806812) × cos(0.37282001) × R
    0.000191750000000157 × 0.93130388067951 × 6371000     		do = 1137.71737431634m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18787637-1.18806812) × cos(0.37264143) × R
    0.000191750000000157 × 0.931368912373202 × 6371000     		du = 1137.79681958585m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37282001)-sin(0.37264143))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.93130388067951-0.931368912373202)×R²
    abs(1.18806812-1.18787637)×6.50316936918749e-05×R²
    0.000191750000000157×6.50316936918749e-05×6371000²
    0.000191750000000157×6.50316936918749e-05×40589641000000     		ar = 1294464.00342157m²