Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 22573 / 14347
↖ ↑ ↗
← N 21.830907°
E 67.994385°		 ← 1 133.97 m → N 21.830907°
E 68.005371°		 →
↑
1 134.04 m
↓
↑
1 134.04 m
↓
N 21.820708°
E 67.994385°		 ← 1 134.05 m →
1 286 012 m²		 N 21.820708°
E 68.005371°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22573 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14347 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.688888549804688 y=0.437850952148438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.688888549804688 × 215)
    floor (0.688888549804688 × 32768)
    floor (22573.5)     		tx = 22573
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.437850952148438 × 215)
    floor (0.437850952148438 × 32768)
    floor (14347.5)     		ty = 14347
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 22573 / 14347 ti = "15/22573/14347"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/22573/14347.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22573 ÷ 215
    22573 ÷ 32768     		x = 0.688873291015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14347 ÷ 215
    14347 ÷ 32768     		y = 0.437835693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.688873291015625 × 2 - 1) × π
    0.37774658203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.18672589
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.437835693359375 × 2 - 1) × π
    0.12432861328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.390589858104218
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18672589} λ = 1.18672589}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.390589858104218))-π/2
    2×atan(1.47785225996909)-π/2
    2×0.975908763392788-π/2
    1.95181752678558-1.57079632675     		φ = 0.38102120
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18672589} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.994385°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38102120 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.830907°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22573 KachelY 14347 1.18672589 0.38102120 67.994385 21.830907
    Oben rechts KachelX + 1 22574 KachelY 14347 1.18691763 0.38102120 68.005371 21.830907
    Unten links KachelX 22573 KachelY + 1 14348 1.18672589 0.38084320 67.994385 21.820708
    Unten rechts KachelX + 1 22574 KachelY + 1 14348 1.18691763 0.38084320 68.005371 21.820708
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38102120-0.38084320) × R
    0.000178000000000011 × 6371000     		dl = 1134.03800000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38102120-0.38084320) × R
    0.000178000000000011 × 6371000     		dr = 1134.03800000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18672589-1.18691763) × cos(0.38102120) × R
    0.000191739999999996 × 0.928285367430326 × 6371000     		do = 1133.97069899277m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18672589-1.18691763) × cos(0.38084320) × R
    0.000191739999999996 × 0.928351545339893 × 6371000     		du = 1134.05154030839m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38102120)-sin(0.38084320))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.928285367430326-0.928351545339893)×R²
    abs(1.18691763-1.18672589)×6.6177909567422e-05×R²
    0.000191739999999996×6.6177909567422e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.6177909567422e-05×40589641000000     		ar = 1286011.70550155m²