Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 22571 / 14459
↖ ↑ ↗
← N 20.684184°
E 67.972412°		 ← 1 142.89 m → N 20.684184°
E 67.983398°		 →
↑
1 142.89 m
↓
↑
1 142.89 m
↓
N 20.673905°
E 67.972412°		 ← 1 142.97 m →
1 306 251 m²		 N 20.673905°
E 67.983398°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22571 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14459 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.688827514648438 y=0.441268920898438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.688827514648438 × 215)
    floor (0.688827514648438 × 32768)
    floor (22571.5)     		tx = 22571
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441268920898438 × 215)
    floor (0.441268920898438 × 32768)
    floor (14459.5)     		ty = 14459
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 22571 / 14459 ti = "15/22571/14459"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/22571/14459.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22571 ÷ 215
    22571 ÷ 32768     		x = 0.688812255859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14459 ÷ 215
    14459 ÷ 32768     		y = 0.441253662109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.688812255859375 × 2 - 1) × π
    0.37762451171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.18634239
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.441253662109375 × 2 - 1) × π
    0.11749267578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.369114127074432
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18634239} λ = 1.18634239}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.369114127074432))-π/2
    2×atan(1.44645267366703)-π/2
    2×0.965901718411165-π/2
    1.93180343682233-1.57079632675     		φ = 0.36100711
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18634239} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.972412°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36100711 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.684184°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22571 KachelY 14459 1.18634239 0.36100711 67.972412 20.684184
    Oben rechts KachelX + 1 22572 KachelY 14459 1.18653414 0.36100711 67.983398 20.684184
    Unten links KachelX 22571 KachelY + 1 14460 1.18634239 0.36082772 67.972412 20.673905
    Unten rechts KachelX + 1 22572 KachelY + 1 14460 1.18653414 0.36082772 67.983398 20.673905
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36100711-0.36082772) × R
    0.000179390000000001 × 6371000     		dl = 1142.89369000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36100711-0.36082772) × R
    0.000179390000000001 × 6371000     		dr = 1142.89369000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18634239-1.18653414) × cos(0.36100711) × R
    0.000191749999999935 × 0.935541570208581 × 6371000     		do = 1142.89430217305m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18634239-1.18653414) × cos(0.36082772) × R
    0.000191749999999935 × 0.935604918681879 × 6371000     		du = 1142.97169115445m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36100711)-sin(0.36082772))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.935541570208581-0.935604918681879)×R²
    abs(1.18653414-1.18634239)×6.33484732985856e-05×R²
    0.000191749999999935×6.33484732985856e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.33484732985856e-05×40589641000000     		ar = 1306250.91348265m²