Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 22568 / 14408
↖ ↑ ↗
← N 21.207459°
E 67.939453°		 ← 1 138.91 m → N 21.207459°
E 67.950440°		 →
↑
1 138.94 m
↓
↑
1 138.94 m
↓
N 21.197216°
E 67.939453°		 ← 1 138.98 m →
1 297 195 m²		 N 21.197216°
E 67.950440°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22568 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14408 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.688735961914062 y=0.439712524414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.688735961914062 × 215)
    floor (0.688735961914062 × 32768)
    floor (22568.5)     		tx = 22568
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439712524414062 × 215)
    floor (0.439712524414062 × 32768)
    floor (14408.5)     		ty = 14408
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 22568 / 14408 ti = "15/22568/14408"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/22568/14408.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22568 ÷ 215
    22568 ÷ 32768     		x = 0.688720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14408 ÷ 215
    14408 ÷ 32768     		y = 0.439697265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.688720703125 × 2 - 1) × π
    0.37744140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.18576715
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.439697265625 × 2 - 1) × π
    0.12060546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.378893254596924
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18576715} λ = 1.18576715}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.378893254596924))-π/2
    2×atan(1.4606671079221)-π/2
    2×0.97046815380627-π/2
    1.94093630761254-1.57079632675     		φ = 0.37013998
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18576715} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.939453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37013998 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.207459°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22568 KachelY 14408 1.18576715 0.37013998 67.939453 21.207459
    Oben rechts KachelX + 1 22569 KachelY 14408 1.18595890 0.37013998 67.950440 21.207459
    Unten links KachelX 22568 KachelY + 1 14409 1.18576715 0.36996121 67.939453 21.197216
    Unten rechts KachelX + 1 22569 KachelY + 1 14409 1.18595890 0.36996121 67.950440 21.197216
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37013998-0.36996121) × R
    0.000178769999999995 × 6371000     		dl = 1138.94366999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37013998-0.36996121) × R
    0.000178769999999995 × 6371000     		dr = 1138.94366999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18576715-1.18595890) × cos(0.37013998) × R
    0.000191749999999935 × 0.932276717543836 × 6371000     		do = 1138.90583001233m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18576715-1.18595890) × cos(0.36996121) × R
    0.000191749999999935 × 0.932341371967217 × 6371000     		du = 1138.98481439362m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37013998)-sin(0.36996121))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.932276717543836-0.932341371967217)×R²
    abs(1.18595890-1.18576715)×6.46544233814383e-05×R²
    0.000191749999999935×6.46544233814383e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.46544233814383e-05×40589641000000     		ar = 1297194.56865373m²