Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 22567 / 14358
↖ ↑ ↗
← N 21.718680°
E 67.928467°		 ← 1 134.92 m → N 21.718680°
E 67.939453°		 →
↑
1 134.93 m
↓
↑
1 134.93 m
↓
N 21.708473°
E 67.928467°		 ← 1 135 m →
1 288 098 m²		 N 21.708473°
E 67.939453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22567 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14358 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.688705444335938 y=0.438186645507812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.688705444335938 × 215)
    floor (0.688705444335938 × 32768)
    floor (22567.5)     		tx = 22567
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.438186645507812 × 215)
    floor (0.438186645507812 × 32768)
    floor (14358.5)     		ty = 14358
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 22567 / 14358 ti = "15/22567/14358"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/22567/14358.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22567 ÷ 215
    22567 ÷ 32768     		x = 0.688690185546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14358 ÷ 215
    14358 ÷ 32768     		y = 0.43817138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.688690185546875 × 2 - 1) × π
    0.37738037109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.18557540
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43817138671875 × 2 - 1) × π
    0.1236572265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.388480634520935
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18557540} λ = 1.18557540}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.388480634520935))-π/2
    2×atan(1.47473842417211)-π/2
    2×0.974929399290252-π/2
    1.9498587985805-1.57079632675     		φ = 0.37906247
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18557540} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.928467°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37906247 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.718680°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22567 KachelY 14358 1.18557540 0.37906247 67.928467 21.718680
    Oben rechts KachelX + 1 22568 KachelY 14358 1.18576715 0.37906247 67.939453 21.718680
    Unten links KachelX 22567 KachelY + 1 14359 1.18557540 0.37888433 67.928467 21.708473
    Unten rechts KachelX + 1 22568 KachelY + 1 14359 1.18576715 0.37888433 67.939453 21.708473
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37906247-0.37888433) × R
    0.000178139999999993 × 6371000     		dl = 1134.92993999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37906247-0.37888433) × R
    0.000178139999999993 × 6371000     		dr = 1134.92993999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18557540-1.18576715) × cos(0.37906247) × R
    0.000191749999999935 × 0.929011976462591 × 6371000     		do = 1134.91749416639m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18557540-1.18576715) × cos(0.37888433) × R
    0.000191749999999935 × 0.929077882367318 × 6371000     		du = 1134.99800740641m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37906247)-sin(0.37888433))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.929011976462591-0.929077882367318)×R²
    abs(1.18576715-1.18557540)×6.59059047271038e-05×R²
    0.000191749999999935×6.59059047271038e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.59059047271038e-05×40589641000000     		ar = 1288097.5354086m²