Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 22553 / 14327
↖ ↑ ↗
← N 22.034730°
E 67.774658°		 ← 1 132.35 m → N 22.034730°
E 67.785644°		 →
↑
1 132.45 m
↓
↑
1 132.45 m
↓
N 22.024546°
E 67.774658°		 ← 1 132.43 m →
1 282 368 m²		 N 22.024546°
E 67.785644°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22553 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14327 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.688278198242188 y=0.437240600585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.688278198242188 × 215)
    floor (0.688278198242188 × 32768)
    floor (22553.5)     		tx = 22553
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.437240600585938 × 215)
    floor (0.437240600585938 × 32768)
    floor (14327.5)     		ty = 14327
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 22553 / 14327 ti = "15/22553/14327"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/22553/14327.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22553 ÷ 215
    22553 ÷ 32768     		x = 0.688262939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14327 ÷ 215
    14327 ÷ 32768     		y = 0.437225341796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.688262939453125 × 2 - 1) × π
    0.37652587890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.18289094
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.437225341796875 × 2 - 1) × π
    0.12554931640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.394424810073822
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18289094} λ = 1.18289094}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.394424810073822))-π/2
    2×atan(1.48353063359004)-π/2
    2×0.977687455939618-π/2
    1.95537491187924-1.57079632675     		φ = 0.38457859
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18289094} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.774658°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38457859 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.034730°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22553 KachelY 14327 1.18289094 0.38457859 67.774658 22.034730
    Oben rechts KachelX + 1 22554 KachelY 14327 1.18308268 0.38457859 67.785644 22.034730
    Unten links KachelX 22553 KachelY + 1 14328 1.18289094 0.38440084 67.774658 22.024546
    Unten rechts KachelX + 1 22554 KachelY + 1 14328 1.18308268 0.38440084 67.785644 22.024546
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38457859-0.38440084) × R
    0.000177749999999977 × 6371000     		dl = 1132.44524999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38457859-0.38440084) × R
    0.000177749999999977 × 6371000     		dr = 1132.44524999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18289094-1.18308268) × cos(0.38457859) × R
    0.000191739999999996 × 0.926956614750925 × 6371000     		do = 1132.34752722091m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18289094-1.18308268) × cos(0.38440084) × R
    0.000191739999999996 × 0.927023286315161 × 6371000     		du = 1132.42897157299m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38457859)-sin(0.38440084))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.926956614750925-0.927023286315161)×R²
    abs(1.18308268-1.18289094)×6.66715642360094e-05×R²
    0.000191739999999996×6.66715642360094e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.66715642360094e-05×40589641000000     		ar = 1282367.69756186m²