Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 22550 / 14407
↖ ↑ ↗
← N 21.217701°
E 67.741699°		 ← 1 138.83 m → N 21.217701°
E 67.752686°		 →
↑
1 138.88 m
↓
↑
1 138.88 m
↓
N 21.207459°
E 67.741699°		 ← 1 138.91 m →
1 297 032 m²		 N 21.207459°
E 67.752686°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22550 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14407 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.688186645507812 y=0.439682006835938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.688186645507812 × 215)
    floor (0.688186645507812 × 32768)
    floor (22550.5)     		tx = 22550
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439682006835938 × 215)
    floor (0.439682006835938 × 32768)
    floor (14407.5)     		ty = 14407
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 22550 / 14407 ti = "15/22550/14407"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/22550/14407.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22550 ÷ 215
    22550 ÷ 32768     		x = 0.68817138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14407 ÷ 215
    14407 ÷ 32768     		y = 0.439666748046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.68817138671875 × 2 - 1) × π
    0.3763427734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.18231569
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.439666748046875 × 2 - 1) × π
    0.12066650390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.379085002195404
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18231569} λ = 1.18231569}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.379085002195404))-π/2
    2×atan(1.46094721418621)-π/2
    2×0.970557531616786-π/2
    1.94111506323357-1.57079632675     		φ = 0.37031874
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18231569} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.741699°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37031874 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.217701°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22550 KachelY 14407 1.18231569 0.37031874 67.741699 21.217701
    Oben rechts KachelX + 1 22551 KachelY 14407 1.18250744 0.37031874 67.752686 21.217701
    Unten links KachelX 22550 KachelY + 1 14408 1.18231569 0.37013998 67.741699 21.207459
    Unten rechts KachelX + 1 22551 KachelY + 1 14408 1.18250744 0.37013998 67.752686 21.207459
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37031874-0.37013998) × R
    0.00017876 × 6371000     		dl = 1138.87996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37031874-0.37013998) × R
    0.00017876 × 6371000     		dr = 1138.87996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18231569-1.18250744) × cos(0.37031874) × R
    0.000191749999999935 × 0.932212036945216 × 6371000     		do = 1138.82681365434m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18231569-1.18250744) × cos(0.37013998) × R
    0.000191749999999935 × 0.932276717543836 × 6371000     		du = 1138.90583001233m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37031874)-sin(0.37013998))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.932212036945216-0.932276717543836)×R²
    abs(1.18250744-1.18231569)×6.46805986195265e-05×R²
    0.000191749999999935×6.46805986195265e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.46805986195265e-05×40589641000000     		ar = 1297032.03450888m²