Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 22550 / 14403
↖ ↑ ↗
← N 21.258661°
E 67.741699°		 ← 1 138.51 m → N 21.258661°
E 67.752686°		 →
↑
1 138.50 m
↓
↑
1 138.50 m
↓
N 21.248422°
E 67.741699°		 ← 1 138.59 m →
1 296 237 m²		 N 21.248422°
E 67.752686°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22550 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14403 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.688186645507812 y=0.439559936523438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.688186645507812 × 215)
    floor (0.688186645507812 × 32768)
    floor (22550.5)     		tx = 22550
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439559936523438 × 215)
    floor (0.439559936523438 × 32768)
    floor (14403.5)     		ty = 14403
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 22550 / 14403 ti = "15/22550/14403"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/22550/14403.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22550 ÷ 215
    22550 ÷ 32768     		x = 0.68817138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14403 ÷ 215
    14403 ÷ 32768     		y = 0.439544677734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.68817138671875 × 2 - 1) × π
    0.3763427734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.18231569
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.439544677734375 × 2 - 1) × π
    0.12091064453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.379851992589325
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18231569} λ = 1.18231569}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.379851992589325))-π/2
    2×atan(1.46206817649423)-π/2
    2×0.970914980812254-π/2
    1.94182996162451-1.57079632675     		φ = 0.37103363
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18231569} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.741699°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37103363 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.258661°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22550 KachelY 14403 1.18231569 0.37103363 67.741699 21.258661
    Oben rechts KachelX + 1 22551 KachelY 14403 1.18250744 0.37103363 67.752686 21.258661
    Unten links KachelX 22550 KachelY + 1 14404 1.18231569 0.37085493 67.741699 21.248422
    Unten rechts KachelX + 1 22551 KachelY + 1 14404 1.18250744 0.37085493 67.752686 21.248422
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37103363-0.37085493) × R
    0.000178699999999976 × 6371000     		dl = 1138.49769999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37103363-0.37085493) × R
    0.000178699999999976 × 6371000     		dr = 1138.49769999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18231569-1.18250744) × cos(0.37103363) × R
    0.000191749999999935 × 0.931953071068632 × 6371000     		do = 1138.51045077509m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18231569-1.18250744) × cos(0.37085493) × R
    0.000191749999999935 × 0.932017849040965 × 6371000     		du = 1138.58958608863m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37103363)-sin(0.37085493))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.931953071068632-0.932017849040965)×R²
    abs(1.18250744-1.18231569)×6.47779723329522e-05×R²
    0.000191749999999935×6.47779723329522e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.47779723329522e-05×40589641000000     		ar = 1296236.58076892m²