Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 22499 / 14536
↖ ↑ ↗
← N 19.890723°
E 67.181396°		 ← 1 148.76 m → N 19.890723°
E 67.192383°		 →
↑
1 148.82 m
↓
↑
1 148.82 m
↓
N 19.880392°
E 67.181396°		 ← 1 148.84 m →
1 319 760 m²		 N 19.880392°
E 67.192383°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22499 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14536 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.686630249023438 y=0.443618774414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.686630249023438 × 215)
    floor (0.686630249023438 × 32768)
    floor (22499.5)     		tx = 22499
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.443618774414062 × 215)
    floor (0.443618774414062 × 32768)
    floor (14536.5)     		ty = 14536
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 22499 / 14536 ti = "15/22499/14536"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/22499/14536.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22499 ÷ 215
    22499 ÷ 32768     		x = 0.686614990234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14536 ÷ 215
    14536 ÷ 32768     		y = 0.443603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.686614990234375 × 2 - 1) × π
    0.37322998046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.17253656
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.443603515625 × 2 - 1) × π
    0.11279296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.354349561991455
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17253656} λ = 1.17253656}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.354349561991455))-π/2
    2×atan(1.42525331379833)-π/2
    2×0.958977467078181-π/2
    1.91795493415636-1.57079632675     		φ = 0.34715861
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17253656} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.181396°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34715861 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.890723°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22499 KachelY 14536 1.17253656 0.34715861 67.181396 19.890723
    Oben rechts KachelX + 1 22500 KachelY 14536 1.17272831 0.34715861 67.192383 19.890723
    Unten links KachelX 22499 KachelY + 1 14537 1.17253656 0.34697829 67.181396 19.880392
    Unten rechts KachelX + 1 22500 KachelY + 1 14537 1.17272831 0.34697829 67.192383 19.880392
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34715861-0.34697829) × R
    0.000180319999999956 × 6371000     		dl = 1148.81871999972m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34715861-0.34697829) × R
    0.000180319999999956 × 6371000     		dr = 1148.81871999972m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17253656-1.17272831) × cos(0.34715861) × R
    0.000191750000000157 × 0.940343225928595 × 6371000     		do = 1148.76019326693m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17253656-1.17272831) × cos(0.34697829) × R
    0.000191750000000157 × 0.940404560427699 × 6371000     		du = 1148.83512189842m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34715861)-sin(0.34697829))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.940343225928595-0.940404560427699)×R²
    abs(1.17272831-1.17253656)×6.13344991043929e-05×R²
    0.000191750000000157×6.13344991043929e-05×6371000²
    0.000191750000000157×6.13344991043929e-05×40589641000000     		ar = 1319760.25809899m²