Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 22484 / 14515
↖ ↑ ↗
← N 20.107524°
E 67.016602°		 ← 1 147.18 m → N 20.107524°
E 67.027588°		 →
↑
1 147.23 m
↓
↑
1 147.23 m
↓
N 20.097206°
E 67.016602°		 ← 1 147.25 m →
1 316 117 m²		 N 20.097206°
E 67.027588°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22484 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14515 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.686172485351562 y=0.442977905273438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.686172485351562 × 215)
    floor (0.686172485351562 × 32768)
    floor (22484.5)     		tx = 22484
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442977905273438 × 215)
    floor (0.442977905273438 × 32768)
    floor (14515.5)     		ty = 14515
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 22484 / 14515 ti = "15/22484/14515"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/22484/14515.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22484 ÷ 215
    22484 ÷ 32768     		x = 0.6861572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14515 ÷ 215
    14515 ÷ 32768     		y = 0.442962646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6861572265625 × 2 - 1) × π
    0.372314453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.16966035
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.442962646484375 × 2 - 1) × π
    0.11407470703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.35837626155954
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.16966035} λ = 1.16966035}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.35837626155954))-π/2
    2×atan(1.43100395097531)-π/2
    2×0.960869406123815-π/2
    1.92173881224763-1.57079632675     		φ = 0.35094249
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.16966035} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.016602°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35094249 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.107524°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22484 KachelY 14515 1.16966035 0.35094249 67.016602 20.107524
    Oben rechts KachelX + 1 22485 KachelY 14515 1.16985210 0.35094249 67.027588 20.107524
    Unten links KachelX 22484 KachelY + 1 14516 1.16966035 0.35076242 67.016602 20.097206
    Unten rechts KachelX + 1 22485 KachelY + 1 14516 1.16985210 0.35076242 67.027588 20.097206
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35094249-0.35076242) × R
    0.000180069999999977 × 6371000     		dl = 1147.22596999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35094249-0.35076242) × R
    0.000180069999999977 × 6371000     		dr = 1147.22596999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.16966035-1.16985210) × cos(0.35094249) × R
    0.000191749999999935 × 0.939049117924235 × 6371000     		do = 1147.17926013373m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.16966035-1.16985210) × cos(0.35076242) × R
    0.000191749999999935 × 0.939111007705075 × 6371000     		du = 1147.25486711918m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35094249)-sin(0.35076242))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.939049117924235-0.939111007705075)×R²
    abs(1.16985210-1.16966035)×6.18897808407626e-05×R²
    0.000191749999999935×6.18897808407626e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.18897808407626e-05×40589641000000     		ar = 1316117.21217545m²