Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 22481 / 14511
↖ ↑ ↗
← N 20.148785°
E 66.983643°		 ← 1 146.88 m → N 20.148785°
E 66.994629°		 →
↑
1 146.91 m
↓
↑
1 146.91 m
↓
N 20.138470°
E 66.983643°		 ← 1 146.95 m →
1 315 405 m²		 N 20.138470°
E 66.994629°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22481 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14511 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.686080932617188 y=0.442855834960938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.686080932617188 × 215)
    floor (0.686080932617188 × 32768)
    floor (22481.5)     		tx = 22481
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442855834960938 × 215)
    floor (0.442855834960938 × 32768)
    floor (14511.5)     		ty = 14511
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 22481 / 14511 ti = "15/22481/14511"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/22481/14511.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22481 ÷ 215
    22481 ÷ 32768     		x = 0.686065673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14511 ÷ 215
    14511 ÷ 32768     		y = 0.442840576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.686065673828125 × 2 - 1) × π
    0.37213134765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.16908511
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.442840576171875 × 2 - 1) × π
    0.11431884765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.359143251953461
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.16908511} λ = 1.16908511}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.359143251953461))-π/2
    2×atan(1.4321019382784)-π/2
    2×0.961229479445879-π/2
    1.92245895889176-1.57079632675     		φ = 0.35166263
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.16908511} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 66.983643°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35166263 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.148785°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22481 KachelY 14511 1.16908511 0.35166263 66.983643 20.148785
    Oben rechts KachelX + 1 22482 KachelY 14511 1.16927686 0.35166263 66.994629 20.148785
    Unten links KachelX 22481 KachelY + 1 14512 1.16908511 0.35148261 66.983643 20.138470
    Unten rechts KachelX + 1 22482 KachelY + 1 14512 1.16927686 0.35148261 66.994629 20.138470
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35166263-0.35148261) × R
    0.000180020000000003 × 6371000     		dl = 1146.90742000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35166263-0.35148261) × R
    0.000180020000000003 × 6371000     		dr = 1146.90742000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.16908511-1.16927686) × cos(0.35166263) × R
    0.000191750000000157 × 0.938801302556646 × 6371000     		do = 1146.87651915526m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.16908511-1.16927686) × cos(0.35148261) × R
    0.000191750000000157 × 0.938863296882702 × 6371000     		du = 1146.95225385725m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35166263)-sin(0.35148261))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.938801302556646-0.938863296882702)×R²
    abs(1.16927686-1.16908511)×6.19943260558031e-05×R²
    0.000191750000000157×6.19943260558031e-05×6371000²
    0.000191750000000157×6.19943260558031e-05×40589641000000     		ar = 1315404.62354112m²