Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 22459 / 14379
↖ ↑ ↗
← N 21.504186°
E 66.741943°		 ← 1 136.60 m → N 21.504186°
E 66.752930°		 →
↑
1 136.65 m
↓
↑
1 136.65 m
↓
N 21.493963°
E 66.741943°		 ← 1 136.68 m →
1 291 964 m²		 N 21.493963°
E 66.752930°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22459 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14379 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.685409545898438 y=0.438827514648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.685409545898438 × 215)
    floor (0.685409545898438 × 32768)
    floor (22459.5)     		tx = 22459
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.438827514648438 × 215)
    floor (0.438827514648438 × 32768)
    floor (14379.5)     		ty = 14379
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 22459 / 14379 ti = "15/22459/14379"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/22459/14379.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22459 ÷ 215
    22459 ÷ 32768     		x = 0.685394287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14379 ÷ 215
    14379 ÷ 32768     		y = 0.438812255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.685394287109375 × 2 - 1) × π
    0.37078857421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.16486666
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.438812255859375 × 2 - 1) × π
    0.12237548828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.38445393495285
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.16486666} λ = 1.16486666}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.38445393495285))-π/2
    2×atan(1.46881203549751)-π/2
    2×0.973057583366441-π/2
    1.94611516673288-1.57079632675     		φ = 0.37531884
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.16486666} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 66.741943°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37531884 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.504186°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22459 KachelY 14379 1.16486666 0.37531884 66.741943 21.504186
    Oben rechts KachelX + 1 22460 KachelY 14379 1.16505841 0.37531884 66.752930 21.504186
    Unten links KachelX 22459 KachelY + 1 14380 1.16486666 0.37514043 66.741943 21.493963
    Unten rechts KachelX + 1 22460 KachelY + 1 14380 1.16505841 0.37514043 66.752930 21.493963
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37531884-0.37514043) × R
    0.000178409999999962 × 6371000     		dl = 1136.65010999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37531884-0.37514043) × R
    0.000178409999999962 × 6371000     		dr = 1136.65010999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.16486666-1.16505841) × cos(0.37531884) × R
    0.000191750000000157 × 0.930390792283908 × 6371000     		do = 1136.60190969355m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.16486666-1.16505841) × cos(0.37514043) × R
    0.000191750000000157 × 0.930456177086146 × 6371000     		du = 1136.68178633432m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37531884)-sin(0.37514043))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.930390792283908-0.930456177086146)×R²
    abs(1.16505841-1.16486666)×6.53848022387216e-05×R²
    0.000191750000000157×6.53848022387216e-05×6371000²
    0.000191750000000157×6.53848022387216e-05×40589641000000     		ar = 1291964.08500233m²