Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 22421 / 14306
↖ ↑ ↗
← N 22.248428°
E 66.324463°		 ← 1 130.69 m → N 22.248428°
E 66.335449°		 →
↑
1 130.66 m
↓
↑
1 130.66 m
↓
N 22.238260°
E 66.324463°		 ← 1 130.77 m →
1 278 473 m²		 N 22.238260°
E 66.335449°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22421 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14306 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.684249877929688 y=0.436599731445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.684249877929688 × 215)
    floor (0.684249877929688 × 32768)
    floor (22421.5)     		tx = 22421
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.436599731445312 × 215)
    floor (0.436599731445312 × 32768)
    floor (14306.5)     		ty = 14306
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 22421 / 14306 ti = "15/22421/14306"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/22421/14306.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22421 ÷ 215
    22421 ÷ 32768     		x = 0.684234619140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14306 ÷ 215
    14306 ÷ 32768     		y = 0.43658447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.684234619140625 × 2 - 1) × π
    0.36846923828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.15758025
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43658447265625 × 2 - 1) × π
    0.1268310546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.398451509641907
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.15758025} λ = 1.15758025}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.398451509641907))-π/2
    2×atan(1.4895164091235)-π/2
    2×0.979552330535533-π/2
    1.95910466107107-1.57079632675     		φ = 0.38830833
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.15758025} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 66.324463°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38830833 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.248428°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22421 KachelY 14306 1.15758025 0.38830833 66.324463 22.248428
    Oben rechts KachelX + 1 22422 KachelY 14306 1.15777200 0.38830833 66.335449 22.248428
    Unten links KachelX 22421 KachelY + 1 14307 1.15758025 0.38813086 66.324463 22.238260
    Unten rechts KachelX + 1 22422 KachelY + 1 14307 1.15777200 0.38813086 66.335449 22.238260
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38830833-0.38813086) × R
    0.000177469999999957 × 6371000     		dl = 1130.66136999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38830833-0.38813086) × R
    0.000177469999999957 × 6371000     		dr = 1130.66136999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.15758025-1.15777200) × cos(0.38830833) × R
    0.000191749999999935 × 0.92555088945904 × 6371000     		do = 1130.68929443519m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.15758025-1.15777200) × cos(0.38813086) × R
    0.000191749999999935 × 0.925618069148094 × 6371000     		du = 1130.77136378014m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38830833)-sin(0.38813086))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.92555088945904-0.925618069148094)×R²
    abs(1.15777200-1.15758025)×6.7179689054786e-05×R²
    0.000191749999999935×6.7179689054786e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.7179689054786e-05×40589641000000     		ar = 1278473.1063647m²