Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 2207 / 1951
↖ ↑ ↗
← N  8.494104°
E 13.974610°		 ← 9 665.79 m → N  8.494104°
E 14.062500°		 →
↑
9 666.85 m
↓
↑
9 666.85 m
↓
N  8.407168°
E 13.974610°		 ← 9 667.97 m →
93 448 226 m²		 N  8.407168°
E 14.062500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2207 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1951 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5389404296875 y=0.4764404296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5389404296875 × 212)
    floor (0.5389404296875 × 4096)
    floor (2207.5)     		tx = 2207
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4764404296875 × 212)
    floor (0.4764404296875 × 4096)
    floor (1951.5)     		ty = 1951
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2207 / 1951 ti = "12/2207/1951"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2207/1951.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2207 ÷ 212
    2207 ÷ 4096     		x = 0.538818359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1951 ÷ 212
    1951 ÷ 4096     		y = 0.476318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.538818359375 × 2 - 1) × π
    0.07763671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.24390295
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.476318359375 × 2 - 1) × π
    0.04736328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.148796136420654
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24390295} λ = 0.24390295}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.148796136420654))-π/2
    2×atan(1.16043639437641)-π/2
    2×0.859523208989781-π/2
    1.71904641797956-1.57079632675     		φ = 0.14825009
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24390295} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.974610°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.14825009 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 8.494104°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2207 KachelY 1951 0.24390295 0.14825009 13.974610 8.494104
    Oben rechts KachelX + 1 2208 KachelY 1951 0.24543693 0.14825009 14.062500 8.494104
    Unten links KachelX 2207 KachelY + 1 1952 0.24390295 0.14673277 13.974610 8.407168
    Unten rechts KachelX + 1 2208 KachelY + 1 1952 0.24543693 0.14673277 14.062500 8.407168
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.14825009-0.14673277) × R
    0.00151731999999999 × 6371000     		dl = 9666.84571999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.14825009-0.14673277) × R
    0.00151731999999999 × 6371000     		dr = 9666.84571999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24390295-0.24543693) × cos(0.14825009) × R
    0.00153397999999999 × 0.989031067185378 × 6371000     		do = 9665.78734680572m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24390295-0.24543693) × cos(0.14673277) × R
    0.00153397999999999 × 0.989254048358907 × 6371000     		du = 9667.96653882221m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.14825009)-sin(0.14673277))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.989031067185378-0.989254048358907)×R²
    abs(0.24543693-0.24390295)×0.000222981173528813×R²
    0.00153397999999999×0.000222981173528813×6371000²
    0.00153397999999999×0.000222981173528813×40589641000000     		ar = 93448225.9289157m²