Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2207 / 1950
↖ ↑ ↗
← N  8.581021°
E 13.974610°		 ← 9 663.59 m → N  8.581021°
E 14.062500°		 →
↑
9 664.68 m
↓
↑
9 664.68 m
↓
N  8.494104°
E 13.974610°		 ← 9 665.79 m →
93 406 120 m²		 N  8.494104°
E 14.062500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2207 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1950 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5389404296875 y=0.4761962890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5389404296875 × 212)
    floor (0.5389404296875 × 4096)
    floor (2207.5)     		tx = 2207
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4761962890625 × 212)
    floor (0.4761962890625 × 4096)
    floor (1950.5)     		ty = 1950
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2207 / 1950 ti = "12/2207/1950"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2207/1950.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2207 ÷ 212
    2207 ÷ 4096     		x = 0.538818359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1950 ÷ 212
    1950 ÷ 4096     		y = 0.47607421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.538818359375 × 2 - 1) × π
    0.07763671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.24390295
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.47607421875 × 2 - 1) × π
    0.0478515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.150330117208496
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24390295} λ = 0.24390295}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.150330117208496))-π/2
    2×atan(1.16221784751902)-π/2
    2×0.860281700093542-π/2
    1.72056340018708-1.57079632675     		φ = 0.14976707
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24390295} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.974610°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.14976707 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 8.581021°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2207 KachelY 1950 0.24390295 0.14976707 13.974610 8.581021
    Oben rechts KachelX + 1 2208 KachelY 1950 0.24543693 0.14976707 14.062500 8.581021
    Unten links KachelX 2207 KachelY + 1 1951 0.24390295 0.14825009 13.974610 8.494104
    Unten rechts KachelX + 1 2208 KachelY + 1 1951 0.24543693 0.14825009 14.062500 8.494104
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.14976707-0.14825009) × R
    0.00151698 × 6371000     		dl = 9664.67958000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.14976707-0.14825009) × R
    0.00151698 × 6371000     		dr = 9664.67958000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24390295-0.24543693) × cos(0.14976707) × R
    0.00153397999999999 × 0.988805859736353 × 6371000     		do = 9663.58639742868m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24390295-0.24543693) × cos(0.14825009) × R
    0.00153397999999999 × 0.989031067185378 × 6371000     		du = 9665.78734680572m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.14976707)-sin(0.14825009))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.988805859736353-0.989031067185378)×R²
    abs(0.24543693-0.24390295)×0.000225207449025322×R²
    0.00153397999999999×0.000225207449025322×6371000²
    0.00153397999999999×0.000225207449025322×40589641000000     		ar = 93406119.7724473m²