Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 220 / 350
↖ ↑ ↗
← S 54.977613°
W 25.312500°		 ← 44.869 km → S 54.977613°
W 24.609375°		 →
↑
44.644 km
↓
↑
44.644 km
↓
S 55.379110°
W 25.312500°		 ← 44.420 km →
1 993.14 km²		 S 55.379110°
W 24.609375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 220 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 350 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4306640625 y=0.6845703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4306640625 × 29)
    floor (0.4306640625 × 512)
    floor (220.5)     		tx = 220
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6845703125 × 29)
    floor (0.6845703125 × 512)
    floor (350.5)     		ty = 350
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 220 / 350 ti = "9/220/350"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/220/350.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 220 ÷ 29
    220 ÷ 512     		x = 0.4296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 350 ÷ 29
    350 ÷ 512     		y = 0.68359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4296875 × 2 - 1) × π
    -0.140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.44178647
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68359375 × 2 - 1) × π
    -0.3671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.15355355245703
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44178647} λ = -0.44178647}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.15355355245703))-π/2
    2×atan(0.315513580845869)-π/2
    2×0.305627976685362-π/2
    0.611255953370723-1.57079632675     		φ = -0.95954037
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44178647} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.312500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95954037 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.977613°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 220 KachelY 350 -0.44178647 -0.95954037 -25.312500 -54.977613
    Oben rechts KachelX + 1 221 KachelY 350 -0.42951462 -0.95954037 -24.609375 -54.977613
    Unten links KachelX 220 KachelY + 1 351 -0.44178647 -0.96654781 -25.312500 -55.379110
    Unten rechts KachelX + 1 221 KachelY + 1 351 -0.42951462 -0.96654781 -24.609375 -55.379110
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95954037--0.96654781) × R
    0.00700743999999998 × 6371000     		dl = 44644.4002399998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95954037--0.96654781) × R
    0.00700743999999998 × 6371000     		dr = 44644.4002399998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44178647--0.42951462) × cos(-0.95954037) × R
    0.01227185 × 0.573896450498898 × 6371000     		do = 44869.4950352257m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44178647--0.42951462) × cos(-0.96654781) × R
    0.01227185 × 0.568143819206898 × 6371000     		du = 44419.7315613943m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95954037)-sin(-0.96654781))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.573896450498898-0.568143819206898)×R²
    abs(-0.42951462--0.44178647)×0.00575263129199999×R²
    0.01227185×0.00575263129199999×6371000²
    0.01227185×0.00575263129199999×40589641000000     		ar = 1993140140.62163m²