Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 21696 / 11968
↖ ↑ ↗
← N 43.580391°
E 58.359375°		 ← 884.97 m → N 43.580391°
E 58.370361°		 →
↑
885 m
↓
↑
885 m
↓
N 43.572432°
E 58.359375°		 ← 885.08 m →
783 242 m²		 N 43.572432°
E 58.370361°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21696 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11968 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.662124633789062 y=0.365249633789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.662124633789062 × 215)
    floor (0.662124633789062 × 32768)
    floor (21696.5)     		tx = 21696
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.365249633789062 × 215)
    floor (0.365249633789062 × 32768)
    floor (11968.5)     		ty = 11968
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 21696 / 11968 ti = "15/21696/11968"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/21696/11968.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21696 ÷ 215
    21696 ÷ 32768     		x = 0.662109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11968 ÷ 215
    11968 ÷ 32768     		y = 0.365234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.662109375 × 2 - 1) × π
    0.32421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.01856324
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.365234375 × 2 - 1) × π
    0.26953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.846757394888672
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.01856324} λ = 1.01856324}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.846757394888672))-π/2
    2×atan(2.33207258789549)-π/2
    2×1.16570881825687-π/2
    2.33141763651375-1.57079632675     		φ = 0.76062131
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.01856324} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 58.359375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76062131 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.580391°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21696 KachelY 11968 1.01856324 0.76062131 58.359375 43.580391
    Oben rechts KachelX + 1 21697 KachelY 11968 1.01875499 0.76062131 58.370361 43.580391
    Unten links KachelX 21696 KachelY + 1 11969 1.01856324 0.76048240 58.359375 43.572432
    Unten rechts KachelX + 1 21697 KachelY + 1 11969 1.01875499 0.76048240 58.370361 43.572432
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76062131-0.76048240) × R
    0.000138909999999992 × 6371000     		dl = 884.99560999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76062131-0.76048240) × R
    0.000138909999999992 × 6371000     		dr = 884.99560999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.01856324-1.01875499) × cos(0.76062131) × R
    0.000191749999999935 × 0.724407837082572 × 6371000     		do = 884.965046787375m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.01856324-1.01875499) × cos(0.76048240) × R
    0.000191749999999935 × 0.724503590710468 × 6371000     		du = 885.082023177543m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76062131)-sin(0.76048240))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.724407837082572-0.724503590710468)×R²
    abs(1.01875499-1.01856324)×9.57536278963778e-05×R²
    0.000191749999999935×9.57536278963778e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.57536278963778e-05×40589641000000     		ar = 783241.944466047m²