Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2167 / 1337
↖ ↑ ↗
← N 52.855864°
E 10.458984°		 ← 5 901.15 m → N 52.855864°
E 10.546875°		 →
↑
5 904.77 m
↓
↑
5 904.77 m
↓
N 52.802761°
E 10.458984°		 ← 5 908.36 m →
34 866 224 m²		 N 52.802761°
E 10.546875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2167 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1337 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5291748046875 y=0.3265380859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5291748046875 × 212)
    floor (0.5291748046875 × 4096)
    floor (2167.5)     		tx = 2167
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3265380859375 × 212)
    floor (0.3265380859375 × 4096)
    floor (1337.5)     		ty = 1337
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2167 / 1337 ti = "12/2167/1337"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2167/1337.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2167 ÷ 212
    2167 ÷ 4096     		x = 0.529052734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1337 ÷ 212
    1337 ÷ 4096     		y = 0.326416015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.529052734375 × 2 - 1) × π
    0.05810546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.18254371
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326416015625 × 2 - 1) × π
    0.34716796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.09066034015552
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.18254371} λ = 0.18254371}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09066034015552))-π/2
    2×atan(2.97623875377425)-π/2
    2×1.24665259283328-π/2
    2.49330518566655-1.57079632675     		φ = 0.92250886
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.18254371} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.458984°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92250886 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.855864°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2167 KachelY 1337 0.18254371 0.92250886 10.458984 52.855864
    Oben rechts KachelX + 1 2168 KachelY 1337 0.18407769 0.92250886 10.546875 52.855864
    Unten links KachelX 2167 KachelY + 1 1338 0.18254371 0.92158204 10.458984 52.802761
    Unten rechts KachelX + 1 2168 KachelY + 1 1338 0.18407769 0.92158204 10.546875 52.802761
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92250886-0.92158204) × R
    0.000926819999999995 × 6371000     		dl = 5904.77021999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92250886-0.92158204) × R
    0.000926819999999995 × 6371000     		dr = 5904.77021999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.18254371-0.18407769) × cos(0.92250886) × R
    0.00153397999999999 × 0.603822199027319 × 6371000     		do = 5901.14624780004m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.18254371-0.18407769) × cos(0.92158204) × R
    0.00153397999999999 × 0.604560725443044 × 6371000     		du = 5908.3638565499m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92250886)-sin(0.92158204))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.603822199027319-0.604560725443044)×R²
    abs(0.18407769-0.18254371)×0.000738526415725138×R²
    0.00153397999999999×0.000738526415725138×6371000²
    0.00153397999999999×0.000738526415725138×40589641000000     		ar = 34866224.2843067m²