Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 2165 / 1339
↖ ↑ ↗
← N 52.749594°
E 10.283203°		 ← 5 915.59 m → N 52.749594°
E 10.371094°		 →
↑
5 919.23 m
↓
↑
5 919.23 m
↓
N 52.696361°
E 10.283203°		 ← 5 922.81 m →
35 037 109 m²		 N 52.696361°
E 10.371094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2165 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1339 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5286865234375 y=0.3270263671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5286865234375 × 212)
    floor (0.5286865234375 × 4096)
    floor (2165.5)     		tx = 2165
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3270263671875 × 212)
    floor (0.3270263671875 × 4096)
    floor (1339.5)     		ty = 1339
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2165 / 1339 ti = "12/2165/1339"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2165/1339.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2165 ÷ 212
    2165 ÷ 4096     		x = 0.528564453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1339 ÷ 212
    1339 ÷ 4096     		y = 0.326904296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.528564453125 × 2 - 1) × π
    0.05712890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.17947575
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326904296875 × 2 - 1) × π
    0.34619140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.08759237857983
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17947575} λ = 0.17947575}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08759237857983))-π/2
    2×atan(2.96712176008183)-π/2
    2×1.24572520819853-π/2
    2.49145041639706-1.57079632675     		φ = 0.92065409
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17947575} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.283203°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92065409 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.749594°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2165 KachelY 1339 0.17947575 0.92065409 10.283203 52.749594
    Oben rechts KachelX + 1 2166 KachelY 1339 0.18100973 0.92065409 10.371094 52.749594
    Unten links KachelX 2165 KachelY + 1 1340 0.17947575 0.91972500 10.283203 52.696361
    Unten rechts KachelX + 1 2166 KachelY + 1 1340 0.18100973 0.91972500 10.371094 52.696361
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92065409-0.91972500) × R
    0.000929089999999966 × 6371000     		dl = 5919.23238999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92065409-0.91972500) × R
    0.000929089999999966 × 6371000     		dr = 5919.23238999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17947575-0.18100973) × cos(0.92065409) × R
    0.00153398000000002 × 0.605299632021777 × 6371000     		do = 5915.58518062783m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17947575-0.18100973) × cos(0.91972500) × R
    0.00153398000000002 × 0.606038924178641 × 6371000     		du = 5922.81027295556m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92065409)-sin(0.91972500))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.605299632021777-0.606038924178641)×R²
    abs(0.18100973-0.17947575)×0.000739292156863636×R²
    0.00153398000000002×0.000739292156863636×6371000²
    0.00153398000000002×0.000739292156863636×40589641000000     		ar = 35037109.4276018m²