Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 21635 / 11903
↖ ↑ ↗
← N 44.095476°
E 57.689209°		 ← 877.36 m → N 44.095476°
E 57.700195°		 →
↑
877.41 m
↓
↑
877.41 m
↓
N 44.087585°
E 57.689209°		 ← 877.48 m →
769 858 m²		 N 44.087585°
E 57.700195°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21635 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11903 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.660263061523438 y=0.363265991210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.660263061523438 × 215)
    floor (0.660263061523438 × 32768)
    floor (21635.5)     		tx = 21635
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.363265991210938 × 215)
    floor (0.363265991210938 × 32768)
    floor (11903.5)     		ty = 11903
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 21635 / 11903 ti = "15/21635/11903"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/21635/11903.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21635 ÷ 215
    21635 ÷ 32768     		x = 0.660247802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11903 ÷ 215
    11903 ÷ 32768     		y = 0.363250732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.660247802734375 × 2 - 1) × π
    0.32049560546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.00686664
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.363250732421875 × 2 - 1) × π
    0.27349853515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.859220988789887
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.00686664} λ = 1.00686664}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.859220988789887))-π/2
    2×atan(2.36132048189997)-π/2
    2×1.17020378174485-π/2
    2.3404075634897-1.57079632675     		φ = 0.76961124
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.00686664} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 57.689209°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76961124 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.095476°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21635 KachelY 11903 1.00686664 0.76961124 57.689209 44.095476
    Oben rechts KachelX + 1 21636 KachelY 11903 1.00705839 0.76961124 57.700195 44.095476
    Unten links KachelX 21635 KachelY + 1 11904 1.00686664 0.76947352 57.689209 44.087585
    Unten rechts KachelX + 1 21636 KachelY + 1 11904 1.00705839 0.76947352 57.700195 44.087585
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76961124-0.76947352) × R
    0.000137720000000008 × 6371000     		dl = 877.41412000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76961124-0.76947352) × R
    0.000137720000000008 × 6371000     		dr = 877.41412000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.00686664-1.00705839) × cos(0.76961124) × R
    0.000191750000000157 × 0.718181244889019 × 6371000     		do = 877.358397371006m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.00686664-1.00705839) × cos(0.76947352) × R
    0.000191750000000157 × 0.71827707137878 × 6371000     		du = 877.475462772088m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76961124)-sin(0.76947352))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.718181244889019-0.71827707137878)×R²
    abs(1.00705839-1.00686664)×9.58264897608085e-05×R²
    0.000191750000000157×9.58264897608085e-05×6371000²
    0.000191750000000157×9.58264897608085e-05×40589641000000     		ar = 769858.004788983m²