Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
8 / 216 / 254
S 84.802474°
E123.750000°
← 14.165 km → S 84.802474°
E125.156250°

13.994 km

13.994 km
S 84.928321°
E123.750000°
← 13.823 km →
195.830 km²
S 84.928321°
E125.156250°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 216 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 254 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.845703125 y=0.994140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.845703125 × 28)
    floor (0.845703125 × 256)
    floor (216.5)
    tx = 216
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.994140625 × 28)
    floor (0.994140625 × 256)
    floor (254.5)
    ty = 254
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 216 / 254 ti = "8/216/254"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/216/254.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 216 ÷ 28
    216 ÷ 256
    x = 0.84375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 254 ÷ 28
    254 ÷ 256
    y = 0.9921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.84375 × 2 - 1) × π
    0.6875 × 3.1415926535
    Λ = 2.15984495
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.9921875 × 2 - 1) × π
    -0.984375 × 3.1415926535
    Φ = -3.09250526828906
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.15984495} λ = 2.15984495}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-3.09250526828906))-π/2
    2×atan(0.0453881024755232)-π/2
    2×0.0453569732386442-π/2
    0.0907139464772884-1.57079632675
    φ = -1.48008238
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.15984495} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 123.750000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.48008238 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -84.802474°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 216 KachelY 254 2.15984495 -1.48008238 123.750000 -84.802474
    Oben rechts KachelX + 1 217 KachelY 254 2.18438864 -1.48008238 125.156250 -84.802474
    Unten links KachelX 216 KachelY + 1 255 2.15984495 -1.48227883 123.750000 -84.928321
    Unten rechts KachelX + 1 217 KachelY + 1 255 2.18438864 -1.48227883 125.156250 -84.928321
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(-1.48008238--1.48227883) × R
    0.00219645000000002 × 6371000
    dl = 13993.5829500001m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(-1.48008238--1.48227883) × R
    0.00219645000000002 × 6371000
    dr = 13993.5829500001m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(2.15984495-2.18438864) × cos(-1.48008238) × R
    0.0245436899999998 × 0.0905895834927595 × 6371000
    do = 14165.2983116627m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(2.15984495-2.18438864) × cos(-1.48227883) × R
    0.0245436899999998 × 0.0884019478518086 × 6371000
    du = 13823.2224321133m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(-1.48008238)-sin(-1.48227883))×
    abs(λ12)×abs(0.0905895834927595-0.0884019478518086)×
    abs(2.18438864-2.15984495)×0.00218763564095092×
    0.0245436899999998×0.00218763564095092×6371000²
    0.0245436899999998×0.00218763564095092×40589641000000
    ar = 195829922.067967m²