Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
8 / 216 / 252
↖ ↑ ↗
← S 84.541361°
E123.750000°		 ← 14.875 km → S 84.541361°
E125.156250°		 →
↑
14.695 km
↓
↑
14.695 km
↓
S 84.673512°
E123.750000°		 ← 14.516 km →
215.941 km²		 S 84.673512°
E125.156250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 216 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 252 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.845703125 y=0.986328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.845703125 × 28)
    floor (0.845703125 × 256)
    floor (216.5)     		tx = 216
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.986328125 × 28)
    floor (0.986328125 × 256)
    floor (252.5)     		ty = 252
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 216 / 252 ti = "8/216/252"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/216/252.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 216 ÷ 28
    216 ÷ 256     		x = 0.84375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 252 ÷ 28
    252 ÷ 256     		y = 0.984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.84375 × 2 - 1) × π
    0.6875 × 3.1415926535     		Λ = 2.15984495
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.984375 × 2 - 1) × π
    -0.96875 × 3.1415926535     		Φ = -3.04341788307813
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.15984495} λ = 2.15984495}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-3.04341788307813))-π/2
    2×atan(0.0476716745185925)-π/2
    2×0.0476356109798076-π/2
    0.0952712219596152-1.57079632675     		φ = -1.47552510
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.15984495} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 123.750000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.47552510 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -84.541361°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 216 KachelY 252 2.15984495 -1.47552510 123.750000 -84.541361
    Oben rechts KachelX + 1 217 KachelY 252 2.18438864 -1.47552510 125.156250 -84.541361
    Unten links KachelX 216 KachelY + 1 253 2.15984495 -1.47783158 123.750000 -84.673512
    Unten rechts KachelX + 1 217 KachelY + 1 253 2.18438864 -1.47783158 125.156250 -84.673512
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.47552510--1.47783158) × R
    0.00230647999999989 × 6371000     		dl = 14694.5840799993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.47552510--1.47783158) × R
    0.00230647999999989 × 6371000     		dr = 14694.5840799993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.15984495-2.18438864) × cos(-1.47552510) × R
    0.0245436899999998 × 0.0951271689464025 × 6371000     		do = 14874.8307886572m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.15984495-2.18438864) × cos(-1.47783158) × R
    0.0245436899999998 × 0.0928308975419283 × 6371000     		du = 14515.7677684423m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.47552510)-sin(-1.47783158))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.0951271689464025-0.0928308975419283)×R²
    abs(2.18438864-2.15984495)×0.00229627140447419×R²
    0.0245436899999998×0.00229627140447419×6371000²
    0.0245436899999998×0.00229627140447419×40589641000000     		ar = 215941406.560664m²