Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 21599 / 11233
↖ ↑ ↗
← N 49.145784°
E 57.293701°		 ← 799.08 m → N 49.145784°
E 57.304687°		 →
↑
799.18 m
↓
↑
799.18 m
↓
N 49.138597°
E 57.293701°		 ← 799.19 m →
638 651 m²		 N 49.138597°
E 57.304687°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21599 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11233 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.659164428710938 y=0.342819213867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.659164428710938 × 215)
    floor (0.659164428710938 × 32768)
    floor (21599.5)     		tx = 21599
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342819213867188 × 215)
    floor (0.342819213867188 × 32768)
    floor (11233.5)     		ty = 11233
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 21599 / 11233 ti = "15/21599/11233"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/21599/11233.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21599 ÷ 215
    21599 ÷ 32768     		x = 0.659149169921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11233 ÷ 215
    11233 ÷ 32768     		y = 0.342803955078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.659149169921875 × 2 - 1) × π
    0.31829833984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.99996373
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.342803955078125 × 2 - 1) × π
    0.31439208984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.987691879771637
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.99996373} λ = 0.99996373}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.987691879771637))-π/2
    2×atan(2.68502994277898)-π/2
    2×1.21427603218943-π/2
    2.42855206437886-1.57079632675     		φ = 0.85775574
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.99996373} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 57.293701°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85775574 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.145784°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21599 KachelY 11233 0.99996373 0.85775574 57.293701 49.145784
    Oben rechts KachelX + 1 21600 KachelY 11233 1.00015547 0.85775574 57.304687 49.145784
    Unten links KachelX 21599 KachelY + 1 11234 0.99996373 0.85763030 57.293701 49.138597
    Unten rechts KachelX + 1 21600 KachelY + 1 11234 1.00015547 0.85763030 57.304687 49.138597
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85775574-0.85763030) × R
    0.000125440000000032 × 6371000     		dl = 799.178240000205m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85775574-0.85763030) × R
    0.000125440000000032 × 6371000     		dr = 799.178240000205m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.99996373-1.00015547) × cos(0.85775574) × R
    0.000191739999999885 × 0.654136619420352 × 6371000     		do = 799.077294101711m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.99996373-1.00015547) × cos(0.85763030) × R
    0.000191739999999885 × 0.65423149413128 × 6371000     		du = 799.193190727946m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85775574)-sin(0.85763030))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.654136619420352-0.65423149413128)×R²
    abs(1.00015547-0.99996373)×9.48747109286163e-05×R²
    0.000191739999999885×9.48747109286163e-05×6371000²
    0.000191739999999885×9.48747109286163e-05×40589641000000     		ar = 638651.497392985m²