Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 21568 / 11202
↖ ↑ ↗
← N 49.368066°
E 56.953125°		 ← 795.53 m → N 49.368066°
E 56.964111°		 →
↑
795.55 m
↓
↑
795.55 m
↓
N 49.360912°
E 56.953125°		 ← 795.64 m →
632 926 m²		 N 49.360912°
E 56.964111°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21568 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11202 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.658218383789062 y=0.341873168945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.658218383789062 × 215)
    floor (0.658218383789062 × 32768)
    floor (21568.5)     		tx = 21568
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341873168945312 × 215)
    floor (0.341873168945312 × 32768)
    floor (11202.5)     		ty = 11202
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 21568 / 11202 ti = "15/21568/11202"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/21568/11202.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21568 ÷ 215
    21568 ÷ 32768     		x = 0.658203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11202 ÷ 215
    11202 ÷ 32768     		y = 0.34185791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.658203125 × 2 - 1) × π
    0.31640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.99401955
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34185791015625 × 2 - 1) × π
    0.3162841796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.993636055324524
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.99401955} λ = 0.99401955}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.993636055324524))-π/2
    2×atan(2.7010377616324)-π/2
    2×1.216215814831-π/2
    2.43243162966201-1.57079632675     		φ = 0.86163530
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.99401955} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.953125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86163530 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.368066°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21568 KachelY 11202 0.99401955 0.86163530 56.953125 49.368066
    Oben rechts KachelX + 1 21569 KachelY 11202 0.99421130 0.86163530 56.964111 49.368066
    Unten links KachelX 21568 KachelY + 1 11203 0.99401955 0.86151043 56.953125 49.360912
    Unten rechts KachelX + 1 21569 KachelY + 1 11203 0.99421130 0.86151043 56.964111 49.360912
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86163530-0.86151043) × R
    0.000124869999999944 × 6371000     		dl = 795.546769999641m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86163530-0.86151043) × R
    0.000124869999999944 × 6371000     		dr = 795.546769999641m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.99401955-0.99421130) × cos(0.86163530) × R
    0.000191750000000046 × 0.651197296397375 × 6371000     		do = 795.528176773108m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.99401955-0.99421130) × cos(0.86151043) × R
    0.000191750000000046 × 0.651292056222137 × 6371000     		du = 795.64393909436m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86163530)-sin(0.86151043))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.651197296397375-0.651292056222137)×R²
    abs(0.99421130-0.99401955)×9.47598247611481e-05×R²
    0.000191750000000046×9.47598247611481e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.47598247611481e-05×40589641000000     		ar = 632925.919468223m²