Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 21486 / 11261
↖ ↑ ↗
← N 48.944151°
E 56.052246°		 ← 802.37 m → N 48.944151°
E 56.063233°		 →
↑
802.43 m
↓
↑
802.43 m
↓
N 48.936935°
E 56.052246°		 ← 802.48 m →
643 887 m²		 N 48.936935°
E 56.063233°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21486 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11261 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.655715942382812 y=0.343673706054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.655715942382812 × 215)
    floor (0.655715942382812 × 32768)
    floor (21486.5)     		tx = 21486
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343673706054688 × 215)
    floor (0.343673706054688 × 32768)
    floor (11261.5)     		ty = 11261
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 21486 / 11261 ti = "15/21486/11261"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/21486/11261.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21486 ÷ 215
    21486 ÷ 32768     		x = 0.65570068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11261 ÷ 215
    11261 ÷ 32768     		y = 0.343658447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.65570068359375 × 2 - 1) × π
    0.3114013671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.97829625
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.343658447265625 × 2 - 1) × π
    0.31268310546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.982322947014191
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.97829625} λ = 0.97829625}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.982322947014191))-π/2
    2×atan(2.67065282698398)-π/2
    2×1.21251645770354-π/2
    2.42503291540708-1.57079632675     		φ = 0.85423659
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.97829625} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.052246°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85423659 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.944151°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21486 KachelY 11261 0.97829625 0.85423659 56.052246 48.944151
    Oben rechts KachelX + 1 21487 KachelY 11261 0.97848800 0.85423659 56.063233 48.944151
    Unten links KachelX 21486 KachelY + 1 11262 0.97829625 0.85411064 56.052246 48.936935
    Unten rechts KachelX + 1 21487 KachelY + 1 11262 0.97848800 0.85411064 56.063233 48.936935
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85423659-0.85411064) × R
    0.00012594999999993 × 6371000     		dl = 802.427449999556m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85423659-0.85411064) × R
    0.00012594999999993 × 6371000     		dr = 802.427449999556m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.97829625-0.97848800) × cos(0.85423659) × R
    0.000191750000000046 × 0.656794365445566 × 6371000     		do = 802.365776007339m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.97829625-0.97848800) × cos(0.85411064) × R
    0.000191750000000046 × 0.65688933531863 × 6371000     		du = 802.481794931843m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85423659)-sin(0.85411064))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.656794365445566-0.65688933531863)×R²
    abs(0.97848800-0.97829625)×9.49698730644544e-05×R²
    0.000191750000000046×9.49698730644544e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.49698730644544e-05×40589641000000     		ar = 643886.872844391m²