Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 21465 / 11211
↖ ↑ ↗
← N 49.303636°
E 55.821533°		 ← 796.57 m → N 49.303636°
E 55.832520°		 →
↑
796.63 m
↓
↑
796.63 m
↓
N 49.296472°
E 55.821533°		 ← 796.69 m →
634 618 m²		 N 49.296472°
E 55.832520°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21465 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11211 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.655075073242188 y=0.342147827148438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.655075073242188 × 215)
    floor (0.655075073242188 × 32768)
    floor (21465.5)     		tx = 21465
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342147827148438 × 215)
    floor (0.342147827148438 × 32768)
    floor (11211.5)     		ty = 11211
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 21465 / 11211 ti = "15/21465/11211"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/21465/11211.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21465 ÷ 215
    21465 ÷ 32768     		x = 0.655059814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11211 ÷ 215
    11211 ÷ 32768     		y = 0.342132568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.655059814453125 × 2 - 1) × π
    0.31011962890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.97426955
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.342132568359375 × 2 - 1) × π
    0.31573486328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.991910326938202
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.97426955} λ = 0.97426955}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.991910326938202))-π/2
    2×atan(2.6963805238142)-π/2
    2×1.21565355201254-π/2
    2.43130710402509-1.57079632675     		φ = 0.86051078
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.97426955} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 55.821533°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86051078 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.303636°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21465 KachelY 11211 0.97426955 0.86051078 55.821533 49.303636
    Oben rechts KachelX + 1 21466 KachelY 11211 0.97446130 0.86051078 55.832520 49.303636
    Unten links KachelX 21465 KachelY + 1 11212 0.97426955 0.86038574 55.821533 49.296472
    Unten rechts KachelX + 1 21466 KachelY + 1 11212 0.97446130 0.86038574 55.832520 49.296472
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86051078-0.86038574) × R
    0.000125040000000021 × 6371000     		dl = 796.629840000132m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86051078-0.86038574) × R
    0.000125040000000021 × 6371000     		dr = 796.629840000132m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.97426955-0.97446130) × cos(0.86051078) × R
    0.000191749999999935 × 0.652050292247379 × 6371000     		do = 796.570229983099m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.97426955-0.97446130) × cos(0.86038574) × R
    0.000191749999999935 × 0.652145089441261 × 6371000     		du = 796.686037955935m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86051078)-sin(0.86038574))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.652050292247379-0.652145089441261)×R²
    abs(0.97446130-0.97426955)×9.47971938818348e-05×R²
    0.000191749999999935×9.47971938818348e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.47971938818348e-05×40589641000000     		ar = 634617.743730305m²