Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 21449 / 11209
↖ ↑ ↗
← N 49.317961°
E 55.645752°		 ← 796.30 m → N 49.317961°
E 55.656738°		 →
↑
796.38 m
↓
↑
796.38 m
↓
N 49.310799°
E 55.645752°		 ← 796.41 m →
634 197 m²		 N 49.310799°
E 55.656738°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21449 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11209 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.654586791992188 y=0.342086791992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.654586791992188 × 215)
    floor (0.654586791992188 × 32768)
    floor (21449.5)     		tx = 21449
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342086791992188 × 215)
    floor (0.342086791992188 × 32768)
    floor (11209.5)     		ty = 11209
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 21449 / 11209 ti = "15/21449/11209"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/21449/11209.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21449 ÷ 215
    21449 ÷ 32768     		x = 0.654571533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11209 ÷ 215
    11209 ÷ 32768     		y = 0.342071533203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.654571533203125 × 2 - 1) × π
    0.30914306640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.97120159
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.342071533203125 × 2 - 1) × π
    0.31585693359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.992293822135162
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.97120159} λ = 0.97120159}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.992293822135162))-π/2
    2×atan(2.69741477109602)-π/2
    2×1.21577856291451-π/2
    2.43155712582902-1.57079632675     		φ = 0.86076080
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.97120159} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 55.645752°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86076080 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.317961°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21449 KachelY 11209 0.97120159 0.86076080 55.645752 49.317961
    Oben rechts KachelX + 1 21450 KachelY 11209 0.97139333 0.86076080 55.656738 49.317961
    Unten links KachelX 21449 KachelY + 1 11210 0.97120159 0.86063580 55.645752 49.310799
    Unten rechts KachelX + 1 21450 KachelY + 1 11210 0.97139333 0.86063580 55.656738 49.310799
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86076080-0.86063580) × R
    0.000125000000000042 × 6371000     		dl = 796.375000000266m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86076080-0.86063580) × R
    0.000125000000000042 × 6371000     		dr = 796.375000000266m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.97120159-0.97139333) × cos(0.86076080) × R
    0.000191740000000107 × 0.651860712777 × 6371000     		do = 796.297102215792m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.97120159-0.97139333) × cos(0.86063580) × R
    0.000191740000000107 × 0.651955500023835 × 6371000     		du = 796.412891998029m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86076080)-sin(0.86063580))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.651860712777-0.651955500023835)×R²
    abs(0.97139333-0.97120159)×9.47872468347599e-05×R²
    0.000191740000000107×9.47872468347599e-05×6371000²
    0.000191740000000107×9.47872468347599e-05×40589641000000     		ar = 634197.21164689m²