Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 21447 / 11208
↖ ↑ ↗
← N 49.325122°
E 55.623779°		 ← 796.22 m → N 49.325122°
E 55.634766°		 →
↑
796.25 m
↓
↑
796.25 m
↓
N 49.317961°
E 55.623779°		 ← 796.34 m →
634 037 m²		 N 49.317961°
E 55.634766°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21447 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11208 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.654525756835938 y=0.342056274414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.654525756835938 × 215)
    floor (0.654525756835938 × 32768)
    floor (21447.5)     		tx = 21447
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342056274414062 × 215)
    floor (0.342056274414062 × 32768)
    floor (11208.5)     		ty = 11208
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 21447 / 11208 ti = "15/21447/11208"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/21447/11208.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21447 ÷ 215
    21447 ÷ 32768     		x = 0.654510498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11208 ÷ 215
    11208 ÷ 32768     		y = 0.342041015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.654510498046875 × 2 - 1) × π
    0.30902099609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.97081809
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.342041015625 × 2 - 1) × π
    0.31591796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.992485569733643
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.97081809} λ = 0.97081809}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.992485569733643))-π/2
    2×atan(2.69793204349177)-π/2
    2×1.21584105473396-π/2
    2.43168210946792-1.57079632675     		φ = 0.86088578
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.97081809} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 55.623779°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86088578 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.325122°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21447 KachelY 11208 0.97081809 0.86088578 55.623779 49.325122
    Oben rechts KachelX + 1 21448 KachelY 11208 0.97100984 0.86088578 55.634766 49.325122
    Unten links KachelX 21447 KachelY + 1 11209 0.97081809 0.86076080 55.623779 49.317961
    Unten rechts KachelX + 1 21448 KachelY + 1 11209 0.97100984 0.86076080 55.634766 49.317961
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86088578-0.86076080) × R
    0.000124980000000052 × 6371000     		dl = 796.247580000333m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86088578-0.86076080) × R
    0.000124980000000052 × 6371000     		dr = 796.247580000333m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.97081809-0.97100984) × cos(0.86088578) × R
    0.000191750000000046 × 0.651765930513245 × 6371000     		do = 796.222842527944m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.97081809-0.97100984) × cos(0.86076080) × R
    0.000191750000000046 × 0.651860712777 × 6371000     		du = 796.338632261551m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86088578)-sin(0.86076080))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.651765930513245-0.651860712777)×R²
    abs(0.97100984-0.97081809)×9.47822637547002e-05×R²
    0.000191750000000046×9.47822637547002e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.47822637547002e-05×40589641000000     		ar = 634036.61097663m²