Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 21440 / 11711
↖ ↑ ↗
← N 45.590978°
E 55.546875°		 ← 854.87 m → N 45.590978°
E 55.557862°		 →
↑
854.92 m
↓
↑
854.92 m
↓
N 45.583290°
E 55.546875°		 ← 854.99 m →
730 902 m²		 N 45.583290°
E 55.557862°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21440 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11711 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.654312133789062 y=0.357406616210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.654312133789062 × 215)
    floor (0.654312133789062 × 32768)
    floor (21440.5)     		tx = 21440
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.357406616210938 × 215)
    floor (0.357406616210938 × 32768)
    floor (11711.5)     		ty = 11711
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 21440 / 11711 ti = "15/21440/11711"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/21440/11711.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21440 ÷ 215
    21440 ÷ 32768     		x = 0.654296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11711 ÷ 215
    11711 ÷ 32768     		y = 0.357391357421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.654296875 × 2 - 1) × π
    0.30859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.96947586
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.357391357421875 × 2 - 1) × π
    0.28521728515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.89603652769809
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.96947586} λ = 0.96947586}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.89603652769809))-π/2
    2×atan(2.44987383594512)-π/2
    2×1.18325450321752-π/2
    2.36650900643503-1.57079632675     		φ = 0.79571268
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.96947586} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 55.546875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.79571268 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.590978°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21440 KachelY 11711 0.96947586 0.79571268 55.546875 45.590978
    Oben rechts KachelX + 1 21441 KachelY 11711 0.96966761 0.79571268 55.557862 45.590978
    Unten links KachelX 21440 KachelY + 1 11712 0.96947586 0.79557849 55.546875 45.583290
    Unten rechts KachelX + 1 21441 KachelY + 1 11712 0.96966761 0.79557849 55.557862 45.583290
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.79571268-0.79557849) × R
    0.000134189999999923 × 6371000     		dl = 854.924489999509m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.79571268-0.79557849) × R
    0.000134189999999923 × 6371000     		dr = 854.924489999509m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.96947586-0.96966761) × cos(0.79571268) × R
    0.000191750000000046 × 0.699775831928357 × 6371000     		do = 854.87362248529m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.96947586-0.96966761) × cos(0.79557849) × R
    0.000191750000000046 × 0.699871685931871 × 6371000     		du = 854.990721498251m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.79571268)-sin(0.79557849))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.699775831928357-0.699871685931871)×R²
    abs(0.96966761-0.96947586)×9.5854003513085e-05×R²
    0.000191750000000046×9.5854003513085e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.5854003513085e-05×40589641000000     		ar = 730902.452221004m²