Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
8 / 214 / 241
↖ ↑ ↗
← S 82.853382°
E120.937500°		 ← 19.454 km → S 82.853382°
E122.343750°		 →
↑
19.219 km
↓
↑
19.219 km
↓
S 83.026219°
E120.937500°		 ← 18.985 km →
369.370 km²		 S 83.026219°
E122.343750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 214 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 241 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.837890625 y=0.943359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.837890625 × 28)
    floor (0.837890625 × 256)
    floor (214.5)     		tx = 214
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.943359375 × 28)
    floor (0.943359375 × 256)
    floor (241.5)     		ty = 241
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 214 / 241 ti = "8/214/241"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/214/241.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 214 ÷ 28
    214 ÷ 256     		x = 0.8359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 241 ÷ 28
    241 ÷ 256     		y = 0.94140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8359375 × 2 - 1) × π
    0.671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.11075756
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.94140625 × 2 - 1) × π
    -0.8828125 × 3.1415926535     		Φ = -2.77343726441797
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.11075756} λ = 2.11075756}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.77343726441797))-π/2
    2×atan(0.062446988608245)-π/2
    2×0.0623660046999839-π/2
    0.124732009399968-1.57079632675     		φ = -1.44606432
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.11075756} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 120.937500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44606432 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.853382°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 214 KachelY 241 2.11075756 -1.44606432 120.937500 -82.853382
    Oben rechts KachelX + 1 215 KachelY 241 2.13530126 -1.44606432 122.343750 -82.853382
    Unten links KachelX 214 KachelY + 1 242 2.11075756 -1.44908088 120.937500 -83.026219
    Unten rechts KachelX + 1 215 KachelY + 1 242 2.13530126 -1.44908088 122.343750 -83.026219
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44606432--1.44908088) × R
    0.00301655999999983 × 6371000     		dl = 19218.5037599989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44606432--1.44908088) × R
    0.00301655999999983 × 6371000     		dr = 19218.5037599989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.11075756-2.13530126) × cos(-1.44606432) × R
    0.0245436999999997 × 0.124408826678382 × 6371000     		do = 19453.5485491544m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.11075756-2.13530126) × cos(-1.44908088) × R
    0.0245436999999997 × 0.121415140703967 × 6371000     		du = 18985.4321220559m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44606432)-sin(-1.44908088))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.124408826678382-0.121415140703967)×R²
    abs(2.13530126-2.11075756)×0.00299368597441479×R²
    0.0245436999999997×0.00299368597441479×6371000²
    0.0245436999999997×0.00299368597441479×40589641000000     		ar = 369370127.37446m²