Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 2134 / 2043
↖ ↑ ↗
← N  0.439449°
E  7.558594°		 ← 9 772.70 m → N  0.439449°
E  7.646484°		 →
↑
9 772.80 m
↓
↑
9 772.80 m
↓
N  0.351560°
E  7.558594°		 ← 9 772.80 m →
95 507 114 m²		 N  0.351560°
E  7.646484°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2134 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2043 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5211181640625 y=0.4989013671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5211181640625 × 212)
    floor (0.5211181640625 × 4096)
    floor (2134.5)     		tx = 2134
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4989013671875 × 212)
    floor (0.4989013671875 × 4096)
    floor (2043.5)     		ty = 2043
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2134 / 2043 ti = "12/2134/2043"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2134/2043.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2134 ÷ 212
    2134 ÷ 4096     		x = 0.52099609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2043 ÷ 212
    2043 ÷ 4096     		y = 0.498779296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52099609375 × 2 - 1) × π
    0.0419921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.13192235
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.498779296875 × 2 - 1) × π
    0.00244140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.00766990393920898
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13192235} λ = 0.13192235}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.00766990393920898))-π/2
    2×atan(1.00769939299696)-π/2
    2×0.789233077767547-π/2
    1.57846615553509-1.57079632675     		φ = 0.00766983
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13192235} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.558594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.00766983 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.439449°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2134 KachelY 2043 0.13192235 0.00766983 7.558594 0.439449
    Oben rechts KachelX + 1 2135 KachelY 2043 0.13345633 0.00766983 7.646484 0.439449
    Unten links KachelX 2134 KachelY + 1 2044 0.13192235 0.00613588 7.558594 0.351560
    Unten rechts KachelX + 1 2135 KachelY + 1 2044 0.13345633 0.00613588 7.646484 0.351560
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.00766983-0.00613588) × R
    0.00153395 × 6371000     		dl = 9772.79545m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.00766983-0.00613588) × R
    0.00153395 × 6371000     		dr = 9772.79545m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13192235-0.13345633) × cos(0.00766983) × R
    0.00153398000000002 × 0.999970586998074 × 6371000     		do = 9772.69912712702m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13192235-0.13345633) × cos(0.00613588) × R
    0.00153398000000002 × 0.999981175547373 × 6371000     		du = 9772.80260887722m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.00766983)-sin(0.00613588))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999970586998074-0.999981175547373)×R²
    abs(0.13345633-0.13192235)×1.05885492989177e-05×R²
    0.00153398000000002×1.05885492989177e-05×6371000²
    0.00153398000000002×1.05885492989177e-05×40589641000000     		ar = 95507113.9441694m²