Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 213 / 357
↖ ↑ ↗
← S 57.704147°
W 30.234375°		 ← 41.773 km → S 57.704147°
W 29.531250°		 →
↑
41.557 km
↓
↑
41.557 km
↓
S 58.077876°
W 30.234375°		 ← 41.341 km →
1 726.98 km²		 S 58.077876°
W 29.531250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 213 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 357 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4169921875 y=0.6982421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4169921875 × 29)
    floor (0.4169921875 × 512)
    floor (213.5)     		tx = 213
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6982421875 × 29)
    floor (0.6982421875 × 512)
    floor (357.5)     		ty = 357
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 213 / 357 ti = "9/213/357"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/213/357.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 213 ÷ 29
    213 ÷ 512     		x = 0.416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 357 ÷ 29
    357 ÷ 512     		y = 0.697265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.416015625 × 2 - 1) × π
    -0.16796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.52768939
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.697265625 × 2 - 1) × π
    -0.39453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.23945647657617
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52768939} λ = -0.52768939}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.23945647657617))-π/2
    2×atan(0.289541547792344)-π/2
    2×0.281834482759489-π/2
    0.563668965518978-1.57079632675     		φ = -1.00712736
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52768939} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.234375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.00712736 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -57.704147°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 213 KachelY 357 -0.52768939 -1.00712736 -30.234375 -57.704147
    Oben rechts KachelX + 1 214 KachelY 357 -0.51541754 -1.00712736 -29.531250 -57.704147
    Unten links KachelX 213 KachelY + 1 358 -0.52768939 -1.01365016 -30.234375 -58.077876
    Unten rechts KachelX + 1 214 KachelY + 1 358 -0.51541754 -1.01365016 -29.531250 -58.077876
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.00712736--1.01365016) × R
    0.00652280000000016 × 6371000     		dl = 41556.758800001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.00712736--1.01365016) × R
    0.00652280000000016 × 6371000     		dr = 41556.758800001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52768939--0.51541754) × cos(-1.00712736) × R
    0.0122718500000001 × 0.534291166586826 × 6371000     		do = 41772.9972466153m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52768939--0.51541754) × cos(-1.01365016) × R
    0.0122718500000001 × 0.528766113348559 × 6371000     		du = 41341.0267254032m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.00712736)-sin(-1.01365016))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.534291166586826-0.528766113348559)×R²
    abs(-0.51541754--0.52768939)×0.00552505323826702×R²
    0.0122718500000001×0.00552505323826702×6371000²
    0.0122718500000001×0.00552505323826702×40589641000000     		ar = 1726980846.69863m²