Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 2126 / 2038
↖ ↑ ↗
← N  0.878872°
E  6.855469°		 ← 9 771.84 m → N  0.878872°
E  6.943359°		 →
↑
9 771.97 m
↓
↑
9 771.97 m
↓
N  0.790991°
E  6.855469°		 ← 9 772.06 m →
95 491 155 m²		 N  0.790991°
E  6.943359°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2126 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2038 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5191650390625 y=0.4976806640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5191650390625 × 212)
    floor (0.5191650390625 × 4096)
    floor (2126.5)     		tx = 2126
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4976806640625 × 212)
    floor (0.4976806640625 × 4096)
    floor (2038.5)     		ty = 2038
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2126 / 2038 ti = "12/2126/2038"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2126/2038.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2126 ÷ 212
    2126 ÷ 4096     		x = 0.51904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2038 ÷ 212
    2038 ÷ 4096     		y = 0.49755859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51904296875 × 2 - 1) × π
    0.0380859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11965050
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.49755859375 × 2 - 1) × π
    0.0048828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.015339807878418
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11965050} λ = 0.11965050}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.015339807878418))-π/2
    2×atan(1.01545806664644)-π/2
    2×0.793067766553878-π/2
    1.58613553310776-1.57079632675     		φ = 0.01533921
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11965050} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.855469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.01533921 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.878872°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2126 KachelY 2038 0.11965050 0.01533921 6.855469 0.878872
    Oben rechts KachelX + 1 2127 KachelY 2038 0.12118448 0.01533921 6.943359 0.878872
    Unten links KachelX 2126 KachelY + 1 2039 0.11965050 0.01380539 6.855469 0.790991
    Unten rechts KachelX + 1 2127 KachelY + 1 2039 0.12118448 0.01380539 6.943359 0.790991
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.01533921-0.01380539) × R
    0.00153382 × 6371000     		dl = 9771.96722m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.01533921-0.01380539) × R
    0.00153382 × 6371000     		dr = 9771.96722m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11965050-0.12118448) × cos(0.01533921) × R
    0.00153397999999999 × 0.999882356625021 × 6371000     		do = 9771.83685287504m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11965050-0.12118448) × cos(0.01380539) × R
    0.00153397999999999 × 0.999904707116968 × 6371000     		du = 9772.0552839329m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.01533921)-sin(0.01380539))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999882356625021-0.999904707116968)×R²
    abs(0.12118448-0.11965050)×2.23504919470985e-05×R²
    0.00153397999999999×2.23504919470985e-05×6371000²
    0.00153397999999999×2.23504919470985e-05×40589641000000     		ar = 95491155.3771234m²